Forme o conjunto dos números primos de 0 a 100:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Forme o conjunto dos números primos de 0 a 100”. Isso faz parte de Teoria dos Números, mais especificamente da definição e identificação de números primos. Para resolver, vamos precisar:
- Saber o que é um número primo.
- Ter um método pra testar se cada número no intervalo [0,100] é primo (vamos usar o crivo de Eratóstenes e/ou o teste de divisibilidade).
Passo 2
O que é um número primo?
Um número primo é aquele que só tem dois divisores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 7 é primo porque só é divisível por 1 e por 7. Já 6 não é primo porque 6÷2=3, então tem mais de dois divisores.
Importante: 0 e 1 não são primos, porque:
• 0 tem infinitos divisores (todo número divide 0).
• 1 só tem um divisor (ele mesmo), e a definição exige dois divisores distintos.
Um número primo é aquele que só tem dois divisores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 7 é primo porque só é divisível por 1 e por 7. Já 6 não é primo porque 6÷2=3, então tem mais de dois divisores.
Importante: 0 e 1 não são primos, porque:
• 0 tem infinitos divisores (todo número divide 0).
• 1 só tem um divisor (ele mesmo), e a definição exige dois divisores distintos.
Passo 3
Como testar primalidade na unha?
Pra cada número n, podemos testar se existe algum d com 1<d<n tal que d divides n. Mas dá muito trabalho testar até n–1.
Truque: basta testar divisores d de 2 até , porque se n tem um divisor maior que
, vem junto com um menor que
.
Ou seja, para cada n, testar d=2,3,…,⌊√n⌋:
se algum d satisfaz , então n não é primo;
caso contrário, n é primo.
Pra cada número n, podemos testar se existe algum d com 1<d<n tal que d divides n. Mas dá muito trabalho testar até n–1.
Truque: basta testar divisores d de 2 até
Ou seja, para cada n, testar d=2,3,…,⌊√n⌋:
se algum d satisfaz
caso contrário, n é primo.
Passo 4
Aplicando o Crivo (Sieve) de Eratóstenes de forma resumida:
- Liste os números de 2 até 100.
- Comece em 2: marque todos os múltiplos de 2 (exceto o próprio 2).
- Vá pro próximo não marcado (3): marque todos os múltiplos de 3 (exceto o 3).
- Próximo não marcado (5): marque múltiplos de 5, e assim por diante.
- Você só precisa repetir isso até a raiz de 100, que é 10. Depois disso, todo número não marcado é primo.
Passo 5
Depois de aplicar o crivo (ou de testar um a um até √n), os números que sobrarem são exatamente os primos entre 0 e 100.
Resposta
O conjunto dos números primos de 0 a 100 é:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}