Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos dá a área de um círculo de raio 1 (que é
) e a equação da circunferência unitária
. A questão quer mostrar que a área de um quarto desse círculo (ou seja,
) pode ser escrita como
Estamos no conteúdo de Cálculo Integral e vamos precisar usar a interpretação de integral definida como “área sob a curva” e a forma
, que é justamente a metade de cima da circunferência unitária.
Passo 2
Antes de integrar, vamos lembrar de duas coisas:
- A área total de um círculo de raio 1 é
- Se olharmos só a parte de cima (metade) da circunferência
, podemos resolver para : Essa curva vai de até , descrevendo a semi-circunferência superior.
Agora, a integral
calcula a área sob essa curva desde
até
. Geometricamente, isso é exatamente o quarto de círculo de raio 1 (metade da metade).
Passo 3
Como a área total do círculo é
, um quarto dessa área é
Por outro lado, vimos que esse mesmo quarto de círculo é a região abaixo da curva
entre
e
. Logo,