Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que pi4=integral0^1 raiz1-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos dá a área de um círculo de raio 1 (que é pi4 ;=;integral0^1 raiz1 - x^2;dx ) e a equação da circunferência unitária . A questão quer mostrar que a área de um quarto desse círculo (ou seja, ) pode ser escrita como
Estamos no conteúdo de Cálculo Integral e vamos precisar usar a interpretação de integral definida como “área sob a curva” e a forma , que é justamente a metade de cima da circunferência unitária.

Passo 2

Antes de integrar, vamos lembrar de duas coisas:
  1. A área total de um círculo de raio 1 é Acírculo = pi cdot 1^2 = pi í
  2. Se olharmos só a parte de cima (metade) da circunferência y = raiz1 - x^2 , podemos resolver para integral0^1 raiz1 - x^2;dx : Essa curva vai de até , descrevendo a semi-circunferência superior.
Agora, a integral
calcula a área sob essa curva desde até . Geometricamente, isso é exatamente o quarto de círculo de raio 1 (metade da metade).

Passo 3

Como a área total do círculo é pi4 , um quarto dessa área é
integral0^1 raiz1 - x^2;dx = pi4
Por outro lado, vimos que esse mesmo quarto de círculo é a região abaixo da curva entre e . Logo,

Resposta

boxedintegral0^1 raiz1 - x^2;dx ;=;pi4

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