(b) Mostre que a integral de Simpson
, com 5 pontos, satisfaz
e utilize os valores calculados no item (a) para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra mostrar a relação entre a regra de Simpson composta com 4 subdivisões, que chamamos de
, e as regras do trapézio com 2 e 4 subdivisões,
e
. Em seguida, usando os valores numéricos de
e
que você já calculou no item (a), a gente encontra o valor de
. O que vamos precisar:
- Fórmulas das regras do trapézio (
) e de Simpson composta ( ). - Um pouquinho de álgebra para transformar uma fórmula na outra.
Passo 2
Primeiro, lembrando as fórmulas (no intervalo
com
):
- Trapezoidal com 2 subintervalos (
, passo ):
- Trapezoidal com 4 subintervalos (
, passo ):
- Simpson composta com 4 subintervalos (
, passo ):
Passo 3
Agora a jogada é montar
e ver que dá exatamente
. Fazendo:
Subtraindo:
Por outro lado,
Se você multiplicar ambos os lados por 3, vê que
Mas note que
Logo,
Se, por acaso, o enunciado pedia
, pode ter sido um typo; a relação correta (romberg) é
Passo 4
Agora chega a parte de usar os números do item (a). Supondo que lá você obteve
é só colocar na fórmula:
Por exemplo, se
e
,
Resposta
e substituindo os valores de
e
do item (a) você já encontra o resultado numérico de
.