(b) Mostre que a integral de Simpson S4, com 5 pontos, satisfaz S4=4 T4-2 T2 e utilize os valores calculados no item (a) para determinar S4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra mostrar a relação entre a regra de Simpson composta com 4 subdivisões, que chamamos de , e as regras do trapézio com 2 e 4 subdivisões, e . Em seguida, usando os valores numéricos de e que você já calculou no item (a), a gente encontra o valor de . O que vamos precisar:
  • Fórmulas das regras do trapézio ( ) e de Simpson composta ( ).
  • Um pouquinho de álgebra para transformar uma fórmula na outra.

Passo 2

Primeiro, lembrando as fórmulas (no intervalo T2 = H2,l(f0 + 2f2 + f4r) = h,l(f0 + 2f2 + f4r) com T4 = h2,l(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4r) ):
  1. Trapezoidal com 2 subintervalos ( S4 = h3,l(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4r) , passo ):
  1. Trapezoidal com 4 subintervalos ( , passo ):
  1. Simpson composta com 4 subintervalos ( , passo ):

Passo 3

Agora a jogada é montar 4,T4 &= 4;h2,(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4) = 2h,(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4),[6pt] 2,T2 &= 2,h,(f0 + 2f2 + f4) = 2h,(f0 + 2f2 + f4) e ver que dá exatamente 4T4 - 2T2 = 2hl(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4r) -2hl(f0 + 2f2 + f4r) =2h,(2f1 + 2f3) =4h,(f1 + f3) . Fazendo:
S4 = h3,l(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4r)
Subtraindo:
3,S4 = h,(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4) = h,f0 +4h,f1+2h,f2+4h,f3+h,f4
Por outro lado,
4T4 - T2 = l(2h,(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4)r) -l(h,(f0 + 2f2 + f4)r) = h,f0 +4h,f1+2h,f2+4h,f3+h,f4 =3,S4
Se você multiplicar ambos os lados por 3, vê que
S4 = 4T4 - T23
Mas note que
boxedS4 = 4,T4 - T23,
Logo,
Se, por acaso, o enunciado pedia , pode ter sido um typo; a relação correta (romberg) é

Passo 4

Agora chega a parte de usar os números do item (a). Supondo que lá você obteve
T2 = T2^(a), T4 = T4^(a),
é só colocar na fórmula:
S4 = 4,T4^(a) - T2^(a)3
Por exemplo, se S4 = 4cdot1,95 - 1,83 = 7,8 - 1,83 = 63 =2 e ,

Resposta

boxedS4 = 4,T4 - T23,
e substituindo os valores de e do item (a) você já encontra o resultado numérico de .

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