(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado
(Fonte: Arfken, Seção 6.4):
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o contorno fechado
. Vou considerar a orientação padrão positiva (anti-horária). Informações relevantes fornecidas:
- O contorno é o círculo centrado em
de raio . - A função a integrar é
. - Não foi dada outra condição, então assume-se contorno simples, fechado, e orientação positiva.
Passo 2
Primeira observação sobre singularidades: a função
aparenta ter um problema em
porque o denominador vira zero. É importante saber que tipo de singularidade é essa para decidir qual teorema usar.
Vou expandir
em série de potências (série de Taylor em torno de
). Lembrando a série conhecida:
Dividindo termo a termo por
obtemos a série de
:
Essa é uma série em potências de
sem termos com potências negativas. Portanto a singularidade aparente em
é removível:
pode ser estendida analiticamente a
definindo o valor
nesse ponto (pois
).
Passo 3
Como a função estendida é dada por uma série de potências convergente em todo
(na verdade
é inteira e a divisão por
com a extensão em
resulta em função inteira também), concluímos que
é holomorfa (analítica) em todo o disco
.
Agora lembro de um fato fundamental (Cauchy / Teorema de Cauchy): se
é analítica em um aberto que contém um contorno fechado simples
e sua região interior, então
Esse teorema é uma ferramenta direta para integrais de funções analíticas.
Passo 4
Aplicando o teorema de Cauchy diretamente: como
é analítica em e sobre o círculo
(lembrando que extendemos a função em
pelo valor
), segue que
Esta é já uma resposta correta e simples.
Passo 5
Dou aqui duas explicações alternativas (úteis para a prova) que chegam ao mesmo resultado, para reforçar o entendimento.
Alternativa A — Fórmula integral de Cauchy: escrevendo a integral como
a fórmula integral de Cauchy diz que, para
analítica dentro e sobre
,
Tomando
e
, obtemos
É uma aplicação direta e muito rápida da fórmula.
Passo 6
Alternativa B — Teorema dos resíduos: a integral é
vezes a soma dos resíduos dos polos dentro de
. Como já vimos na expansão em série de potências,
não existe termo em
na expansão (nenhuma parte principal), então o resíduo em
é
. Assim a integral é
.
Passo 7
Resumo e reforço: seja usando o teorema de Cauchy (função analítica no disco), seja usando a fórmula integral (avaliando
em
), seja usando resíduos (coeficiente de
é zero), o resultado é o mesmo e simples.