(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado |z|=2 (Fonte: Arfken, Seção 6.4):
\oint_{C} \frac{\sin z}{z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\frac{\sin z}{z}\,dz
onde C é o contorno fechado |z|=2. Vou considerar a orientação padrão positiva (anti-horária). Informações relevantes fornecidas:
  • O contorno é o círculo centrado em 0 de raio 2.
  • A função a integrar é \dfrac{\sin z}{z}.
  • Não foi dada outra condição, então assume-se contorno simples, fechado, e orientação positiva.

Passo 2

Primeira observação sobre singularidades: a função \dfrac{\sin z}{z} aparenta ter um problema em z=0 porque o denominador vira zero. É importante saber que tipo de singularidade é essa para decidir qual teorema usar.
Vou expandir \sin z em série de potências (série de Taylor em torno de 0). Lembrando a série conhecida:
\sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \frac{z^{7}}{7!} + \cdots.
Dividindo termo a termo por z obtemos a série de \dfrac{\sin z}{z}:
\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^{2}}{3!} + \frac{z^{4}}{5!} - \frac{z^{6}}{7!} + \cdots.
Essa é uma série em potências de z sem termos com potências negativas. Portanto a singularidade aparente em z=0 é removível: \dfrac{\sin z}{z} pode ser estendida analiticamente a z=0 definindo o valor 1 nesse ponto (pois \lim_{z\to0}\dfrac{\sin z}{z}=1).

Passo 3

Como a função estendida é dada por uma série de potências convergente em todo \mathbb{C} (na verdade \sin z é inteira e a divisão por z com a extensão em 0 resulta em função inteira também), concluímos que \dfrac{\sin z}{z} é holomorfa (analítica) em todo o disco |z|\le2.
Agora lembro de um fato fundamental (Cauchy / Teorema de Cauchy): se f é analítica em um aberto que contém um contorno fechado simples C e sua região interior, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
Esse teorema é uma ferramenta direta para integrais de funções analíticas.

Passo 4

Aplicando o teorema de Cauchy diretamente: como \dfrac{\sin z}{z} é analítica em e sobre o círculo |z|=2 (lembrando que extendemos a função em z=0 pelo valor 1), segue que
\oint_{C}\frac{\sin z}{z}\,dz = 0.
Esta é já uma resposta correta e simples.

Passo 5

Dou aqui duas explicações alternativas (úteis para a prova) que chegam ao mesmo resultado, para reforçar o entendimento.
Alternativa A — Fórmula integral de Cauchy: escrevendo a integral como
\oint_{C}\frac{\sin z}{z-0}\,dz,
a fórmula integral de Cauchy diz que, para g analítica dentro e sobre C,
\oint_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, g(a).
Tomando g(z)=\sin z e a=0, obtemos
\oint_{C}\frac{\sin z}{z}\,dz = 2\pi i\,\sin(0) = 2\pi i\cdot 0 = 0.
É uma aplicação direta e muito rápida da fórmula.

Passo 6

Alternativa B — Teorema dos resíduos: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro de C. Como já vimos na expansão em série de potências,
\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^{2}}{3!} + \frac{z^{4}}{5!} - \cdots,
não existe termo em 1/z na expansão (nenhuma parte principal), então o resíduo em z=0 é 0. Assim a integral é 2\pi i\cdot 0 = 0.

Passo 7

Resumo e reforço: seja usando o teorema de Cauchy (função analítica no disco), seja usando a fórmula integral (avaliando \sin em 0), seja usando resíduos (coeficiente de 1/z é zero), o resultado é o mesmo e simples.

Resposta

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