(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado |z|=2 (Fonte: Arfken, Seção 6.4):
\oint_{C} \frac{\cos z}{z^{3}} d z (Dica: Use a fórmula para derivadas).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C}\frac{\cos z}{z^{3}}\,dz
onde C é o círculo |z|=2. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{\cos z}{z^{3}}.
  • O contorno C é o círculo centrado em 0 com raio 2, portanto contém o ponto a=0 no seu interior.
  • A dica indica usar a fórmula de Cauchy para derivadas.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula de Cauchy para derivadas (essa é a ferramenta principal). Se f for holomorfa em uma vizinhança fechada do ponto a e C é um contorno simples fechado que envolve a, então, para n=0,1,2,\dots,
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{\,n+1}}\,dz=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • f é uma função complexa que é diferenciável (holomorfa) dentro e sobre C.
  • a é o ponto dentro de C sobre o qual a fórmula se aplica.
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
  • n! é o fatorial de n.
  • O integrando tem a forma \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}.

Passo 3

Agora encaixo nosso problema na fórmula: aqui f(z)=\cos z e a=0. Verifico as hipóteses:
  • \cos z é uma função inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), então está holomorfa dentro e sobre o círculo |z|=2.
  • O denominador é z^{3}=(z-0)^{3}, que tem a forma (z-a)^{n+1} com n+1=3. Logo
n=2.
Portanto a fórmula de Cauchy dá
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{\cos z}{(z-0)^{3}}\,dz=\frac{f^{(2)}(0)}{2!}.
Multiplicando ambos os lados por 2\pi i,
\oint_{C}\frac{\cos z}{z^{3}}\,dz=2\pi i\cdot\frac{f^{(2)}(0)}{2!}.

Passo 4

Calculo as derivadas de f(z)=\cos z necessárias:
f'(z)=-\sin z,\qquad f''(z)=-\cos z.
Avalio em z=0:
f''(0)=-\cos 0=-1.
Também 2!=2.

Passo 5

Substituo f''(0) e 2! na expressão da integral:
\oint_{C}\frac{\cos z}{z^{3}}\,dz=2\pi i\cdot\frac{-1}{2}=-\pi i.
Como verificação alternativa rápida (opcional): expandindo em série de Taylor \cos z=1-\dfrac{z^{2}}{2!}+\dfrac{z^{4}}{4!}-\cdots, temos
\frac{\cos z}{z^{3}}=z^{-3}-\frac{1}{2}z^{-1}+\cdots,
o termo z^{-1} tem coeficiente -\tfrac{1}{2}, então o resíduo em 0 é -\tfrac{1}{2} e a integral é 2\pi i vezes esse resíduo, ou seja 2\pi i\cdot(-\tfrac{1}{2})=-\pi i, que coincide com o resultado acima.

Resposta

-\pi i

Exercícios relacionados