(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado
(Fonte: Arfken, Seção 6.4):
(Dica: Use a fórmula para derivadas).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - O contorno
é o círculo centrado em com raio , portanto contém o ponto no seu interior. - A dica indica usar a fórmula de Cauchy para derivadas.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula de Cauchy para derivadas (essa é a ferramenta principal). Se
for holomorfa em uma vizinhança fechada do ponto
e
é um contorno simples fechado que envolve
, então, para
,
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é uma função complexa que é diferenciável (holomorfa) dentro e sobre . -
é o ponto dentro de sobre o qual a fórmula se aplica. -
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de . - O integrando tem a forma
.
Passo 3
Agora encaixo nosso problema na fórmula: aqui
e
. Verifico as hipóteses:
-
é uma função inteira (holomorfa em todo ), então está holomorfa dentro e sobre o círculo . - O denominador é
, que tem a forma com . Logo
Portanto a fórmula de Cauchy dá
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 4
Calculo as derivadas de
necessárias:
Avalio em
:
Também
.
Passo 5
Substituo
e
na expressão da integral:
Como verificação alternativa rápida (opcional): expandindo em série de Taylor
, temos
o termo
tem coeficiente
, então o resíduo em
é
e a integral é
vezes esse resíduo, ou seja
, que coincide com o resultado acima.