(Séries de Taylor e Laurent) Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados:

Passo 1

O enunciado pede: “Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados”.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (não foram enviadas as funções nem os pontos de expansão).
Então, o que o enunciado pede está claro (fazer expansões em série), mas os dados necessários para realmente resolver as expansões não foram dados: não há nenhuma função explícita f nem nenhum ponto a (ou conjunto de pontos) em torno do(s) qual(is) expandir.

Passo 2

Por que eu não consigo calcular as expansões sem mais dados. Preciso explicitamente de:
  • A(s) função(ões) a serem expandidas, por exemplo f(z)=\dfrac{1}{1-z} ou g(x)=\sin x. Toda expressão que se quer expandir deve ser fornecida.
  • O ponto de expansão a (pode ser real ou complexo), por exemplo a=0, a=1 ou a=2+i.
  • No caso de expansão de Laurent, também é essencial saber a região (anel) em que a expansão deve ser válida — por exemplo 0<|z|<1 ou |z-1|>2 — pois a forma da série (partes com potências negativas) depende da região ao redor da singularidade.
Sem essas três informações não há como produzir a série específica pedida.

Passo 3

Enquanto não há as funções, vou te ensinar passo a passo como proceder na prova para obter uma expansão de Taylor (caso a função seja regular no ponto) — assim, quando você tiver a função e o ponto, consegue aplicar direto.
Regra básica (fórmula da série de Taylor):
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n,
onde:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a,
  • n! é o fatorial de n,
  • (z-a)^n representa a potência em torno do ponto a.
Passo prático para usar isso numa prova:
  1. Calcule f(a), f'(a), f''(a),\dots até a ordem que você precisa (às vezes basta até certa ordem para a prova).
  2. Monte os coeficientes \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}.
  3. Escreva a soma truncada se pedirem uma aproximação até certa ordem, ou a série inteira se for exata.
Exemplo rápido (modelo para treino): expandir e^x em torno de a=0.
  • f^{(n)}(0)=e^0=1 para todo n.
  • Logo:
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n.
Isso é direto e útil porque muitas funções compostas podem ser tratadas usando esse tipo de série.

Passo 4

Agora o passo a passo para série de Laurent (quando há singularidade no ponto a):
Definição prática:
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n,
onde a série pode incluir termos com n<0 (parte principal). Os coeficientes podem ser obtidos teoricamente por
c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,dw,
mas na prática em provas costuma-se obter a série por manipulações algébricas e expansão em séries conhecidas.
Estratégia prática para provas:
  1. Faça a mudança w=z-a para centralizar em 0: escreva a função em termos de w.
  2. Decomponha f em parcelas simples (frações parciais) sempre que possível.
  3. Use séries padrões (geométrica, binomial, log, etc.) lembrando do raio de convergência para cada termo.
  4. Combine as séries resultantes; os termos com potências negativas aparecerão quando houver fatores como 1/(z-a)^m ou quando expandir para |z-a|> alguma constante (usar expansão em potências negativas).
  5. Determine a região (anel) onde cada série parcial converge; a interseção dessas regiões dá onde a série de Laurent é válida.
Exemplo instructivo (curto) — formato de técnica (sem resolver nada enviado por ti):
Para expandir \dfrac{1}{z(1-z)} em torno de a=0, usa-se frações parciais
\frac{1}{z(1-z)}=\frac{1}{z}+\frac{1}{1-z}
e então
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\quad |z|<1,
logo
\frac{1}{z(1-z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=0}^\infty z^n,
que é uma série de Laurent com um termo singular \dfrac{1}{z} e outros regulares.

Passo 5

Coleção prática de séries padrão (decorar é muito útil em provas):
  • Série geométrica:
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^\infty w^n,\qquad |w|<1.
  • Série binomial (para |w|<1):
(1+w)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty {\alpha\choose n} w^n,
onde {\alpha\choose n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
  • Logaritmo (para |w|<1):
\log(1+w)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{w^n}{n}.
  • Exponencial e trigonométricas:
e^w=\sum_{n=0}^\infty\frac{w^n}{n!},\qquad \sin w=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos w=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{w^{2n}}{(2n)!}.
Dica: sempre tente transformar a função em fatores do tipo (1\pm w)^{\alpha} ou \dfrac{1}{1-w} com w pequeno. Use substituições como w=\dfrac{z-a}{b} para ajustar o domínio.

Passo 6

Algoritmo passo-a-passo que use na prova (resumido, faça à mão):
  1. Identifique o ponto a. Faça w=z-a.
  2. Simplifique a função e faça decomposição em parcelas (se racional).
  3. Tente fatorar de modo a obter formas \dfrac{1}{1-w} ou (1+w)^\alpha.
  4. Expanda cada fator com as séries padrão, checando o raio de convergência.
  5. Reescreva em potências de (z-a) e junte termos até a ordem desejada.
  6. Indique explicitamente a região de validade (ex.: |z-a|<R ou r<|z-a|<R).

Passo 7

Erros comuns e como evitá‑los:
  • Não checar o raio de convergência: sempre dê a região onde a série é válida.
  • Esquecer termos principais (negativos) em Laurent: surgem de fatores \dfrac{1}{(z-a)^m} ou quando se expande para |z-a|> algo.
  • Não simplificar antes de expandir: frações parciais tornam tudo bem mais fácil.

Passo 8

Resumo objetivo: não posso calcular as expansões específicas porque faltam as funções e os pontos de expansão. Porém, acima deixei um guia passo a passo, fórmulas e exemplos que você pode aplicar imediatamente quando tiver as funções.
Força aí — se quiser, cole a primeira função e o ponto aqui (ou várias) que eu faço a expansão completa e explico cada passo com calma.

Resposta

Não é possível calcular as expansões porque o enunciado não forneceu as funções nem os pontos de expansão necessários.

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