1. sumk=1^infty[1k+2-1k+1]

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumk=1^inftyl[tfrac1k+2-tfrac1k+1r]
Esse tipo de série é telescópico, pois muitos termos vão se cancelar ao somar as parcelas. Vamos usar a ideia de soma parcial para resolver.

Passo 2

Definimos a soma parcial até n como
Sn ;=; sumk=1^nl(tfrac1k+2-tfrac1k+1r)

Passo 3

Expandindo os primeiros termos e vendo o cancelamento, temos
Sn = l(tfrac13-tfrac12r) + l(tfrac14-tfrac13r) + cdots + l(tfrac1n+2-tfrac1n+1r)
Todos os termos intermediários tfrac13,tfrac14,dots,tfrac1n+1 se cancelam, sobrando
Sn = 1n+2 ;-; 12

Passo 4

Fazendo ntoinfty, o termo tfrac1n+2 tende a zero. Logo,
sumk=1^inftyl[tfrac1k+2-tfrac1k+1r] = limntoinftySn = 0 - tfrac12 = -tfrac12

Resposta

-tfrac12

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