Indicar quais das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. ( ) Seja f um campo escalar definido por f(x, y)=x^2 arcsen y. Então, o rotacional do gradiente de f é ortogonal ao campo gradiente de g(x, y)=y^2 arcsen x.
( ) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^3, então div(rot nabla f)=0.
( ) Existe um campo vetorial G tal que (nabla times G)(x, y)=y z i+x y z j+x y k.
( ) Se F é um campo conservativo em R^3 dado por F(x, y, z)=a psi(y, z) i+b phi(x, z) j+c lambda(x, y) k, então F é incompressível e irrotacional.
( ) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^3, então div(rot nabla f)=0.
( ) Seja F=P i+Q j, onde P e Q são diferenciáveis. Se partial Qpartial x=partial Ppartial y, então F é conservativo.
( ) Seja r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k, onde r=|r(t)|. Então
nabla(ln r)=rr^2
( ) Toda região conexa por caminhos é simplesmente conexa.

Passo 1

Vamos analisar cada uma das sentenças apresentadas sobre campos vetoriais e operações como gradiente, rotacional e divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como propriedades do gradiente, do rotacional, campos conservativos e regiões simplesmente conexas. Nosso objetivo é determinar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, explicando o porquê de cada caso.

Passo 2

Sentença 1: Seja f um campo escalar definido por f(x, y) = x^2 arcsen y . Então, o rotacional do gradiente de f é ortogonal ao campo gradiente de g(x, y) = y^2 arcsen x .
Primeiro, sabemos que o rotacional do gradiente de uma função escalar sempre é zero, ou seja, nabla times (nabla f) = 0 . Isso ocorre porque o rotacional mede a tendência de um campo vetorial de girar ao redor de um ponto, e o gradiente de uma função escalar aponta na direção de maior variação, sem rotação.
Como o rotacional do gradiente de f é o vetor nulo, ele é ortogonal a qualquer vetor, incluindo o gradiente de g . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Sentença 2: Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^3 , então div(rot nabla f) = 0 .
Aqui, rot nabla f é o rotacional do gradiente de f , que já sabemos ser o vetor nulo. A divergência de qualquer vetor nulo também é zero. Além disso, uma propriedade geral em cálculo vetorial é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero: div(rot F) = 0 .
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Sentença 3: Existe um campo vetorial G tal que (nabla times G)(x, y) = yz i + xyz j + xy k .
Para que exista um campo vetorial G cujo rotacional seja igual a um determinado campo F , é necessário que F satisfaça a condição de que a divergência de F seja zero, ou seja, div F = 0 .
Calculando a divergência de F = yz i + xyz j + xy k :
div F = partialpartial x(yz) + partialpartial y(xyz) + partialpartial z(xy) = 0 + xz + 0 = xz
Como div F = xz neq 0 , não existe tal campo G .
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Sentença 4: Se F é um campo conservativo em R^3 dado por F(x, y, z) = a psi(y, z) i + b phi(x, z) j + c lambda(x, y) k , então F é incompressível e irrotacional.
Um campo conservativo é aquele que é o gradiente de uma função escalar, ou seja, F = nabla f . Campos conservativos são sempre irrotacionais, pois nabla times nabla f = 0 .
No entanto, ser incompressível significa que a divergência de F é zero: div F = 0 . Para F ser conservativo, não há necessariamente essa condição, a menos que a função escalar f seja harmônica.
Portanto, a afirmação de que F é incompressível é falsa, embora seja verdadeira a parte de ser irrotacional.

Passo 6

Sentença 5: Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^3 , então div(rot nabla f) = 0 .
Essa sentença é idêntica à Sentença 2 e, como analisamos anteriormente, é verdadeira.

Passo 7

Sentença 6: Seja F = P i + Q j , onde P e Q são diferenciáveis. Se partial Qpartial x = partial Ppartial y , então F é conservativo.
Para um campo vetorial bidimensional F = P i + Q j , uma condição necessária e suficiente para que F seja conservativo em uma região simplesmente conexa é que as derivadas parciais satisfaçam partial Qpartial x = partial Ppartial y . Isso vem da propriedade de que o rotacional de um campo conservativo deve ser zero.
Portanto, sob a condição dada, F é conservativo, então a afirmação é verdadeira.

Passo 8

Sentença 7: Seja r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , onde r = |r(t)| . Então
nabla(ln r) = rr^2
Calculando o gradiente de ln r , onde r = raizx^2 + y^2 + z^2 :
nabla(ln r) = ( partialpartial x ln r, partialpartial y ln r, partialpartial z ln r ) = ( xr^2, yr^2, zr^2 ) = rr^2
Portanto, a igualdade está correta, e a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Sentença 8: Toda região conexa por caminhos é simplesmente conexa.
Uma região ser conexa por caminhos significa que qualquer dois pontos podem ser unidos por um caminho contínuo dentro da região. Ser simplesmente conexa implica que a região não possui “buracos”, ou seja, que qualquer ciclo pode ser contraído continuamente a um ponto.
No entanto, existem regiões que são conexas por caminhos mas não são simplesmente conexas. Por exemplo, o plano com um ponto removido é conexo por caminhos, mas não é simplesmente conexo porque há ciclos ao redor do ponto removido que não podem ser contrair a um ponto.
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Falsa
  4. Falsa
  5. Verdadeira
  6. Verdadeira
  7. Verdadeira
  8. Falsa

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