Indicar quais das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. ( ) Seja
um campo escalar definido por
. Então, o rotacional do gradiente de
é ortogonal ao campo gradiente de
.
( ) Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
( ) Existe um campo vetorial
tal que
.
( ) Se
é um campo conservativo em
dado por
, então
é incompressível e irrotacional.
( ) Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
( ) Seja
, onde
e
são diferenciáveis. Se
, então
é conservativo.
( ) Seja
, onde
. Então
( ) Toda região conexa por caminhos é simplesmente conexa.
( ) Se
( ) Existe um campo vetorial
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
( ) Seja
Passo 1
Vamos analisar cada uma das sentenças apresentadas sobre campos vetoriais e operações como gradiente, rotacional e divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como propriedades do gradiente, do rotacional, campos conservativos e regiões simplesmente conexas. Nosso objetivo é determinar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, explicando o porquê de cada caso.
Passo 2
Sentença 1: Seja
um campo escalar definido por
. Então, o rotacional do gradiente de
é ortogonal ao campo gradiente de
.
Primeiro, sabemos que o rotacional do gradiente de uma função escalar sempre é zero, ou seja,
. Isso ocorre porque o rotacional mede a tendência de um campo vetorial de girar ao redor de um ponto, e o gradiente de uma função escalar aponta na direção de maior variação, sem rotação.
Como o rotacional do gradiente de
é o vetor nulo, ele é ortogonal a qualquer vetor, incluindo o gradiente de
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Sentença 2: Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
Aqui,
é o rotacional do gradiente de
, que já sabemos ser o vetor nulo. A divergência de qualquer vetor nulo também é zero. Além disso, uma propriedade geral em cálculo vetorial é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Sentença 3: Existe um campo vetorial
tal que
.
Para que exista um campo vetorial
cujo rotacional seja igual a um determinado campo
, é necessário que
satisfaça a condição de que a divergência de
seja zero, ou seja,
.
Calculando a divergência de
:
Como
, não existe tal campo
.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
Sentença 4: Se
é um campo conservativo em
dado por
, então
é incompressível e irrotacional.
Um campo conservativo é aquele que é o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Campos conservativos são sempre irrotacionais, pois
.
No entanto, ser incompressível significa que a divergência de
é zero:
. Para
ser conservativo, não há necessariamente essa condição, a menos que a função escalar
seja harmônica.
Portanto, a afirmação de que
é incompressível é falsa, embora seja verdadeira a parte de ser irrotacional.
Passo 6
Sentença 5: Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
Essa sentença é idêntica à Sentença 2 e, como analisamos anteriormente, é verdadeira.
Passo 7
Sentença 6: Seja
, onde
e
são diferenciáveis. Se
, então
é conservativo.
Para um campo vetorial bidimensional
, uma condição necessária e suficiente para que
seja conservativo em uma região simplesmente conexa é que as derivadas parciais satisfaçam
. Isso vem da propriedade de que o rotacional de um campo conservativo deve ser zero.
Portanto, sob a condição dada,
é conservativo, então a afirmação é verdadeira.
Passo 8
Sentença 7: Seja
, onde
. Então
Calculando o gradiente de
, onde
:
Portanto, a igualdade está correta, e a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Sentença 8: Toda região conexa por caminhos é simplesmente conexa.
Uma região ser conexa por caminhos significa que qualquer dois pontos podem ser unidos por um caminho contínuo dentro da região. Ser simplesmente conexa implica que a região não possui “buracos”, ou seja, que qualquer ciclo pode ser contraído continuamente a um ponto.
No entanto, existem regiões que são conexas por caminhos mas não são simplesmente conexas. Por exemplo, o plano com um ponto removido é conexo por caminhos, mas não é simplesmente conexo porque há ciclos ao redor do ponto removido que não podem ser contrair a um ponto.
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa