Resolva as equações diferenciais sujeitas às condições iniciais indicadas:
y d x+\left(y \cos \frac{x}{y}-x\right) d y=0, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
y\,dx + \bigl(y\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)-x\bigr)\,dy = 0
com condição y(0)=2.
O conteúdo aqui é identificar uma substituição que torne a equação separável. Note que aparece a expressão x/y, então vamos tentar
u = \frac{x}{y}.

Passo 2

Com u = x/y temos x = u\,y. Diferenciando,
dx = u\,dy + y\,du.
Substituindo em
y\,dx + \bigl(y\cos(u) - x\bigr)\,dy = 0
obtemos
y\bigl(u\,dy + y\,du\bigr) + \bigl(y\cos(u)-u\,y\bigr)\,dy = 0.

Passo 3

Desenvolvendo e agrupando os termos em dy e du:
(y\,u)\,dy + y^2\,du + \bigl(y\cos(u)-u\,y\bigr)\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; y\cos(u)\,dy + y^2\,du = 0.

Passo 4

Divida tudo por y^2 para isolar os diferenciais:
\frac{\cos(u)}{y}\,dy + du = 0 \quad\Longrightarrow\quad du = -\cos(u)\,\frac{dy}{y}.
Isso é separável em u e y.

Passo 5

Integramos dos dois lados:
\int \frac{du}{\cos(u)} = -\int \frac{dy}{y}.
Sabemos que \int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|. Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| = -\ln|y| + C.

Passo 6

Exponenciando, obtemos
\operatorname{sec}(u)+\tan(u) = \frac{K}{y},
onde K = e^{C} é constante de integração. Voltando a u = x/y,
\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + \tan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) = \frac{K}{y}.

Passo 7

Usando a condição inicial y(0)=2, em x=0 temos u=0, logo
\operatorname{sec}(0)+\tan(0) = 1 + 0 = 1 = \frac{K}{2} \;\Longrightarrow\; K = 2.

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(0)=2 é
\boxed{\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\;+\;\tan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\;=\;\frac{2}{y}.}

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