Resolva as equações diferenciais sujeitas às condições iniciais indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
com condição
.
O conteúdo aqui é identificar uma substituição que torne a equação separável. Note que aparece a expressão , então vamos tentar
O conteúdo aqui é identificar uma substituição que torne a equação separável. Note que aparece a expressão
Passo 2
Com
temos
. Diferenciando,
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Desenvolvendo e agrupando os termos em
e
:
Passo 4
Divida tudo por
para isolar os diferenciais:
Isso é separável em
e
.
Passo 5
Integramos dos dois lados:
Sabemos que
. Logo,
Passo 6
Exponenciando, obtemos
onde
é constante de integração. Voltando a
,
Passo 7
Usando a condição inicial
, em
temos
, logo
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é