Resolva as equações diferenciais sujeitas às condições iniciais indicadas:
\left(x+y e^{y / x}\right) d x-x e^{y / x} d y=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x + y\,e^{y/x}\bigr)\,dx \;-\; x\,e^{y/x}\,dy \;=\; 0
com condição inicial y(1)=0.
Observamos que, dividindo por dx, podemos escrever
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y\,e^{y/x}}{x\,e^{y/x}} = e^{-\,y/x} \;+\;\frac{y}{x}
e o termo à direita depende apenas de y/x. Logo, vamos usar a substituição homogênea
y = v\,x,\quad v = \frac{y}{x}.

Passo 2

Com y = v\,x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{y}{x} = v.
Substituindo em
\displaystyle \frac{dy}{dx} = e^{-\,y/x} + \frac{y}{x}
obtém-se
v + x\,\frac{dv}{dx} = e^{-v} + v \;\;\Longrightarrow\;\; x\,\frac{dv}{dx} = e^{-v}.

Passo 3

Agora separam-se as variáveis em v e x:
e^{v}\,dv = \frac{dx}{x}.
Integramos dos dois lados:
\int e^{v}\,dv = \int \frac{dx}{x} \;\;\Longrightarrow\;\; e^{v} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Voltando a v = y/x, temos
e^{\tfrac{y}{x}} = \ln\lvert x\rvert + C.
A condição inicial y(1)=0 implica v(1)=0, logo
e^{0} = 1 = \ln(1) + C \;\;\Longrightarrow\;\; C = 1.

Resposta

e^{\frac{y}{x}} = 1 + \ln x \quad\Longrightarrow\quad y = x\,\ln\bigl(1 + \ln x\bigr).

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