(1,0) A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
f(x)=c29(4-x), 1 <= x <= 4 0, caso contrário á
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é muX=

Passo 1

Beleza, a gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória $ X $, que vale $ \frac{2}{9}(4 - x) $ entre 1 e 4, e zero fora desse intervalo. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado, ou seja, a média $ \mu_X $ dessa variável. Para isso, vamos usar o conceito de valor esperado para distribuições contínuas.

Passo 2

O valor esperado $ \mu_X $ de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral de $ x $ multiplicado pela função densidade $ f(x) $ em todo o intervalo onde $ X $ está definido. Matemáticamente, fica assim:
muX
Mas como $ f(x) $ é zero fora de 1 a 4, a gente pode simplificar para:
x

Passo 3

Agora, vamos substituir $ f(x) $ na integral. A função densidade é $ \frac{2}{9}(4 - x) $, então temos:
f(x)

Passo 4

Vamos distribuir o $ x $ dentro dos parênteses para facilitar a integração:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra termo a termo:
integral 4x , dx = 2x^2
integral x^2 , dx = x^33
Então, aplicando os limites de 1 a 4:
muX = 29 [ 2x^2 g|1^4 - x^33 g|1^4 ]

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para $ 2x^2 \bigg|_{1}^{4} $:
2x^2 g|1^4
Para $ \frac{x^3}{3} \bigg|_{1}^{4} $:
2(4)^2 - 2(1)^2 = 2(16) - 2(1) = 32 - 2 = 30

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão do valor esperado:
muX = 29 (30 - 21) = 29 times 9 = 2

Resposta

O valor esperado $ \mu_X $ da variável aleatória é 2.

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