A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória
é
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
Passo 1
Beleza, a gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória $ X $, que vale $ \frac{2}{9}(4 - x) $ entre 1 e 4, e zero fora desse intervalo. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado, ou seja, a média $ \mu_X $ dessa variável. Para isso, vamos usar o conceito de valor esperado para distribuições contínuas.
Passo 2
O valor esperado $ \mu_X $ de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral de $ x $ multiplicado pela função densidade $ f(x) $ em todo o intervalo onde $ X $ está definido. Matemáticamente, fica assim:
Mas como $ f(x) $ é zero fora de 1 a 4, a gente pode simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ f(x) $ na integral. A função densidade é $ \frac{2}{9}(4 - x) $, então temos:
Passo 4
Vamos distribuir o $ x $ dentro dos parênteses para facilitar a integração:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra termo a termo:
Então, aplicando os limites de 1 a 4:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Para $ 2x^2 \bigg|_{1}^{4} $:
Para $ \frac{x^3}{3} \bigg|_{1}^{4} $:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado $ \mu_X $ da variável aleatória é 2.