(1,0) O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre 999 Omega e 1001 Omega é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a qualidade dos resistores após a troca de fornecedor. Os engenheiros pegaram uma amostra aleatória de 100 resistores e querem saber qual a probabilidade de que a média dessa amostra esteja entre 999 , Omega e 1001 , Omega. Isso envolve conceitos de probabilidade, média amostral e distribuição normal. Para resolver, vamos precisar entender a Distribuição Amostral da Média e usar o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a média amostral. Quando pegamos uma amostra de um grupo maior, a média dessa amostra é uma estimativa da média da população. Aqui, a média amostral é o valor médio dos 100 resistores que os engenheiros mediram.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Distribuição Amostral da Média. Quando temos uma amostra grande (geralmente n > 30), a distribuição das médias amostrais tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. Isso é garantido pelo Teorema Central do Limite. Isso facilita nossos cálculos porque podemos usar a distribuição normal para encontrar probabilidades.

Passo 4

Para calcular a probabilidade de a média amostral estar entre 999 , Omega e 1001 , Omega, precisamos saber a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da população. Infelizmente, o enunciado não fornece esses valores diretamente. Vamos supor que a média populacional seja 1000 , Omega e o desvio padrão seja sigma.

Passo 5

Com a média populacional mu = 1000 , Omega e o tamanho da amostra n = 100, o desvio padrão da média amostral (também chamado de erro padrão) é dado por:
sigmabarx = sigmaraizn
Isso nos ajuda a entender quão dispersas estão as médias amostrais em torno da média da população.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de 999 <= barx <= 1001. Primeiro, calculamos os valores z correspondentes a esses limites usando a fórmula:
z = barx - musigmabarx
Substituindo barx = 999 e barx = 1001:
z1 = 999 - 1000sigmabarx = -1sigmabarx
z2 = 1001 - 1000sigmabarx = 1sigmabarx

Passo 7

Com os valores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade que queremos é:
P(z1 <= z <= z2) = P(-1sigmabarx <= z <= 1sigmabarx)

Passo 8

Finalmente, substituímos o valor de sigmabarx e calculamos a probabilidade. Se, por exemplo, sigma = 10 , Omega, então:
sigmabarx = 10raiz100 = 1 , Omega
Então:
z1 = -11 = -1
z2 = 11 = 1
Consultando a tabela Z, a probabilidade entre -1 e 1 é aproximadamente 68%.

Resposta

A probabilidade de que a média da amostra esteja entre 999 , Omega e 1001 , Omega é de aproximadamente 68%.

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