O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
e
é
.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a qualidade dos resistores após a troca de fornecedor. Os engenheiros pegaram uma amostra aleatória de 100 resistores e querem saber qual a probabilidade de que a média dessa amostra esteja entre
e
. Isso envolve conceitos de probabilidade, média amostral e distribuição normal. Para resolver, vamos precisar entender a Distribuição Amostral da Média e usar o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média amostral. Quando pegamos uma amostra de um grupo maior, a média dessa amostra é uma estimativa da média da população. Aqui, a média amostral é o valor médio dos 100 resistores que os engenheiros mediram.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a Distribuição Amostral da Média. Quando temos uma amostra grande (geralmente n > 30), a distribuição das médias amostrais tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. Isso é garantido pelo Teorema Central do Limite. Isso facilita nossos cálculos porque podemos usar a distribuição normal para encontrar probabilidades.
Passo 4
Para calcular a probabilidade de a média amostral estar entre
e
, precisamos saber a média (
) e o desvio padrão (
) da população. Infelizmente, o enunciado não fornece esses valores diretamente. Vamos supor que a média populacional seja
e o desvio padrão seja
.
Passo 5
Com a média populacional
e o tamanho da amostra
, o desvio padrão da média amostral (também chamado de erro padrão) é dado por:
Isso nos ajuda a entender quão dispersas estão as médias amostrais em torno da média da população.
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Primeiro, calculamos os valores z correspondentes a esses limites usando a fórmula:
Substituindo
e
:
Passo 7
Com os valores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade que queremos é:
Passo 8
Finalmente, substituímos o valor de
e calculamos a probabilidade. Se, por exemplo,
, então:
Então:
Consultando a tabela Z, a probabilidade entre -1 e 1 é aproximadamente 68%.
Resposta
A probabilidade de que a média da amostra esteja entre
e
é de aproximadamente 68%.