A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média
20 e variância
.
Qual a probabilidade de ser necessário conversar, de forma aleatória e com reposição, com 5 pessoas até se conversar com alguém entre 27 e 30 anos?
Qual a probabilidade de ser necessário conversar, de forma aleatória e com reposição, com 5 pessoas até se conversar com alguém entre 27 e 30 anos?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que a idade dos alunos segue uma distribuição normal com média
e variância
. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de precisar conversar com exatamente
pessoas para encontrar alguém com idade entre
e
anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade de eventos em séries independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter idade entre
e
anos. Como as idades seguem uma distribuição normal, vamos calcular essa probabilidade usando a média e o desvio padrão.
Passo 3
A média (
) é
e a variância (
) é
, então o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores z para as idades
e
para padronizar a distribuição normal:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com os valores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
A probabilidade de uma pessoa ter idade entre
e
anos é:
Passo 6
Então, a probabilidade
de uma pessoa escolhida ter entre
e
anos é aproximadamente
ou
.
Passo 7
Agora, queremos a probabilidade de precisar conversar com exatamente
pessoas até encontrar alguém na faixa etária desejada. Isso significa que as primeiras
pessoas não estão nessa faixa, e a quinta está. Como as conversas são independentes e com reposição, usamos a fórmula da probabilidade de sucessos em tentativas independentes:
Passo 8
Substituindo o valor de
que encontramos:
Calculando
:
Então:
Ou seja, aproximadamente
.
Resposta
A probabilidade é de aproximadamente
.