A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média = 20 e variância =16.
Qual a probabilidade de ser necessário conversar, de forma aleatória e com reposição, com 5 pessoas até se conversar com alguém entre 27 e 30 anos?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que a idade dos alunos segue uma distribuição normal com média 20 e variância 16. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de precisar conversar com exatamente 5 pessoas para encontrar alguém com idade entre 27 e 30 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade de eventos em séries independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter idade entre 27 e 30 anos. Como as idades seguem uma distribuição normal, vamos calcular essa probabilidade usando a média e o desvio padrão.

Passo 3

A média ( mu) é 20 e a variância ( sigma^2) é 16, então o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz16 = 4

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores z para as idades 27 e 30 para padronizar a distribuição normal:
z = X - musigma
Para X = 27:
z1 = 27 - 204 = 74 = 1,75
Para X = 30:
z2 = 30 - 204 = 104 = 2,5

Passo 5

Com os valores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
P(Z < 1,75) approx 0,9599
P(Z < 2,5) approx 0,9938
A probabilidade de uma pessoa ter idade entre 27 e 30 anos é:
P(27 <= X <= 30) = P(Z < 2,5) - P(Z < 1,75) approx 0,9938 - 0,9599 = 0,0339

Passo 6

Então, a probabilidade p de uma pessoa escolhida ter entre 27 e 30 anos é aproximadamente 0,0339 ou 3,39%.

Passo 7

Agora, queremos a probabilidade de precisar conversar com exatamente 5 pessoas até encontrar alguém na faixa etária desejada. Isso significa que as primeiras 4 pessoas não estão nessa faixa, e a quinta está. Como as conversas são independentes e com reposição, usamos a fórmula da probabilidade de sucessos em tentativas independentes:
P = (1 - p)^4 times p

Passo 8

Substituindo o valor de p que encontramos:
P = (1 - 0,0339)^4 times 0,0339 approx (0,9661)^4 times 0,0339
Calculando (0,9661)^4:
(0,9661)^4 approx 0,8679
Então:
P approx 0,8679 times 0,0339 approx 0,0294
Ou seja, aproximadamente 2,94%.

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente 2,94%.

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