A idade das alunas desta sala segue uma distribuição normal com média= 24 e variância =25. A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média =22 e variância =16. Dado que na sala existem 24 homens e 16 mulheres:
Caso se selecione alguém maior que 22 anos, qual a probabilidade dessa pessoa ser mulher?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A gente tem duas distribuições normais: uma para a idade das alunas com média 24 anos e variância 25, e outra para a idade dos alunos com média 22 anos e variância 16. Na sala, tem 24 homens e 16 mulheres. A pergunta é: se a gente selecionar alguém que tem mais de 22 anos, qual a probabilidade dessa pessoa ser mulher? Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma mulher ter mais de 22 anos. Como a idade das mulheres segue uma distribuição normal com média mum = 24 e variância sigma^2m = 25, o desvio padrão é sigmam = raiz25 = 5. Queremos encontrar P(X > 22) para as mulheres:
Z = 22 - 245 = -25 = -0,4
Usando a tabela da distribuição normal padrão, P(Z > -0,4) = 0,6554.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de um homem ter mais de 22 anos. A idade dos homens tem média muh = 22 e variância sigma^2h = 16, então o desvio padrão é sigmah = raiz16 = 4. Queremos encontrar P(Y > 22) para os homens:
Z = 22 - 224 = 0
Usando a tabela, P(Z > 0) = 0,5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade total de selecionar alguém com mais de 22 anos na sala. Temos 24 homens e 16 mulheres, totalizando 40 pessoas. A probabilidade de selecionar uma mulher é 1640 = 0,4 e a de selecionar um homem é 2440 = 0,6. Então:
P(mais de 22) = P(mulher) times P(X > 22,|,mulher) + P(homem) times P(Y > 22,|,homem)
P(mais de 22) = 0,4 times 0,6554 + 0,6 times 0,5 = 0,26216 + 0,3 = 0,56216

Passo 5

Por fim, queremos saber a probabilidade de a pessoa ser mulher dado que ela tem mais de 22 anos. Usamos a probabilidade condicional:
P(mulher,|,mais de 22) = P(mulher e mais de 22)P(mais de 22)
P(mulher,|,mais de 22) = 0,4 times 0,65540,56216 = 0,262160,56216 approx 0,4667

Resposta

A probabilidade de a pessoa ser mulher, dado que ela tem mais de 22 anos, é aproximadamente 46,67%.

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