Prova 1:
4- ( 2,5 pontos) Um balão esférico tem 2,5 m de diâmetro e contém uma massa total de 6,7 kg de gás hélio. Quando ele é solto na atmosfera, determine em que altitude ele irá se estabilizar, ficando em flutuação neutra, sabendo que a densidade do ar atmosférico rho pode ser aproximada, em função da altitude h (para 0 <= h <= 15.000 m ), pelo seguinte polinômio de 2^circ grau:
rho(h)=2,68 cdot 10^-9 h^2-1,08 cdot 10^-4 h+1,214

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um balão esférico que contém gás hélio e quer saber em que altitude ele vai parar de subir, ou seja, onde ele vai ficar em equilíbrio na atmosfera. Para isso, vamos usar conceitos de flutuabilidade e densidade do ar. Precisamos calcular a altitude onde a força de empuxo iguala o peso total do balão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Sabemos que o balão é esférico e tem um diâmetro de 2,5 , m. O raio r é metade do diâmetro:
r = 2,5 , m2 = 1,25 , m
O volume V de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Substituindo o valor do raio:
V = 43 pi (1,25)^3 approx 43 pi (1,953125) approx 8,18123 , m^3

Passo 3

Agora, vamos entender a força de empuxo. Ela é a força que o ar exerce para cima no balão e é igual ao peso do ar deslocado pelo balão. A fórmula é:
Empuxo = rho(h) cdot V cdot g
Onde:
  • rho(h) é a densidade do ar na altitude h,
  • V é o volume do balão,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2).
O peso total que o balão precisa equilibrar é a soma da massa do gás hélio e a massa do próprio balão (se houver, mas aqui consideramos apenas a massa do gás):
Peso = m cdot g = 6,7 , kg cdot 9,81 , m/s^2 approx 65,727 , N

Passo 4

Para o balão ficar em flutuação neutra, a força de empuxo deve ser igual ao peso total:
rho(h) cdot V cdot g = m cdot g
Podemos simplificar g dos dois lados:
rho(h) cdot V = m
Agora, substituímos V e m:
rho(h) cdot 8,18123 = 6,7
Isolando rho(h):
rho(h) = 6,78,18123 approx 0,8197 , kg/m^3

Passo 5

Sabemos que a densidade do ar em função da altitude h é dada por:
rho(h) = 2,68 cdot 10^-9 h^2 - 1,08 cdot 10^-4 h + 1,214
Queremos encontrar h tal que rho(h) = 0,8197 , kg/m^3. Então, montamos a equação:
2,68 cdot 10^-9 h^2 - 1,08 cdot 10^-4 h + 1,214 = 0,8197
Subtraindo 0,8197 de ambos os lados:
2,68 cdot 10^-9 h^2 - 1,08 cdot 10^-4 h + (1,214 - 0,8197) = 0
2,68 cdot 10^-9 h^2 - 1,08 cdot 10^-4 h + 0,3943 = 0
Agora, temos uma equação quadrática na forma a h^2 + b h + c = 0. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
h = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 2,68 cdot 10^-9,
  • b = -1,08 cdot 10^-4,
  • c = 0,3943.
Calculando o discriminante ( De):
De
De
Calculando a raiz quadrada:
raizDe
Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:
h = -(-1,08 cdot 10^-4) pm 8,62 cdot 10^-52 cdot 2,68 cdot 10^-9 = 1,08 cdot 10^-4 pm 8,62 cdot 10^-55,36 cdot 10^-9
Calculando as duas soluções possíveis:
  1. Soma:
h = 1,08 cdot 10^-4 + 8,62 cdot 10^-55,36 cdot 10^-9 = 1,942 cdot 10^-45,36 cdot 10^-9 approx 3,62 cdot 10^4 , m
  1. Subtração:
h = 1,08 cdot 10^-4 - 8,62 cdot 10^-55,36 cdot 10^-9 = 2,18 cdot 10^-55,36 cdot 10^-9 approx 4,07 cdot 10^3 , m

Resposta

O balão se estabilizará em uma altitude de aproximadamente 4.070 , metros.

Exercícios relacionados