Prova 1:
4- ( 2,5 pontos) Um balão esférico tem
de diâmetro e contém uma massa total de
de gás hélio. Quando ele é solto na atmosfera, determine em que altitude ele irá se estabilizar, ficando em flutuação neutra, sabendo que a densidade do ar atmosférico
pode ser aproximada, em função da altitude
(para
), pelo seguinte polinômio de
grau:
4- ( 2,5 pontos) Um balão esférico tem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um balão esférico que contém gás hélio e quer saber em que altitude ele vai parar de subir, ou seja, onde ele vai ficar em equilíbrio na atmosfera. Para isso, vamos usar conceitos de flutuabilidade e densidade do ar. Precisamos calcular a altitude onde a força de empuxo iguala o peso total do balão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Sabemos que o balão é esférico e tem um diâmetro de
. O raio
é metade do diâmetro:
O volume
de uma esfera é dado por:
Substituindo o valor do raio:
Passo 3
Agora, vamos entender a força de empuxo. Ela é a força que o ar exerce para cima no balão e é igual ao peso do ar deslocado pelo balão. A fórmula é:
Onde:
-
é a densidade do ar na altitude , -
é o volume do balão, -
é a aceleração da gravidade ( ).
O peso total que o balão precisa equilibrar é a soma da massa do gás hélio e a massa do próprio balão (se houver, mas aqui consideramos apenas a massa do gás):
Passo 4
Para o balão ficar em flutuação neutra, a força de empuxo deve ser igual ao peso total:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, substituímos
e
:
Isolando
:
Passo 5
Sabemos que a densidade do ar em função da altitude
é dada por:
Queremos encontrar
tal que
. Então, montamos a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:
-
, -
, -
.
Calculando o discriminante (
):
Calculando a raiz quadrada:
Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas soluções possíveis:
- Soma:
- Subtração:
Resposta
O balão se estabilizará em uma altitude de aproximadamente
.