A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada pela função:
x(t)=23 t^3-72 t^2+3 t-2 , onde x está em metros e t em segundos á
Faça um gráfico representando a função a função v(t), entre os intervalos de tempo de -4s a 4s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a posição de um objeto em movimento dada pela função:
x(t) = 23 t^3 - 72 t^2 + 3 t - 2
Aqui, x(t) está em metros e t em segundos. O que queremos é encontrar a função velocidade v(t) e fazer o gráfico dela no intervalo de tempo de -4 segundos a 4 segundos. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. Derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função. No nosso caso, a derivada da posição x(t) em relação ao tempo t nos dá a velocidade v(t).
A fórmula geral para derivar x(t) = at^n é:
ddt [at^n] = a cdot n cdot t^n-1

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da função x(t) separadamente.
  1. Primeiro termo: 23 t^3
    Derivando:
    ddt ( 23 t^3 ) = 23 cdot 3 cdot t^2 = 2 t^2
  2. Segundo termo: -72 t^2
    Derivando:
    ddt ( -72 t^2 ) = -72 cdot 2 cdot t = -7 t
  3. Terceiro termo: 3 t
    Derivando:
    ddt (3 t) = 3
  4. Quarto termo: -2
    Derivando:
    ddt (-2) = 0

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as derivadas que calculamos:
v(t) = 2 t^2 - 7 t + 3
Então, a função velocidade é:
v(t) = 2 t^2 - 7 t + 3

Passo 5

Com a função velocidade v(t) em mãos, queremos representar graficamente essa função no intervalo de tempo de -4 segundos a 4 segundos.
Para fazer isso, podemos usar ferramentas como o GeoGebra, Desmos, ou até mesmo uma calculadora gráfica. Se preferir desenhar à mão, você pode calcular alguns valores de v(t) para diferentes valores de t dentro desse intervalo e plotar os pontos no gráfico.

Passo 6

Vamos calcular alguns valores para entender como o gráfico se comporta:
t (s) v(t) = 2 t^2 - 7 t + 3 (m/s)
-4 2(-4)^2 - 7(-4) + 3 = 32 + 28 + 3 = 63
-2 2(-2)^2 - 7(-2) + 3 = 8 + 14 + 3 = 25
0 2(0)^2 - 7(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3
2 2(2)^2 - 7(2) + 3 = 8 - 14 + 3 = -3
4 2(4)^2 - 7(4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7
Esses pontos vão te ajudar a desenhar o gráfico.

Passo 7

Plotando esses pontos no gráfico de v(t) versus t, você verá que a função é uma parábola aberta para cima (já que o coeficiente de t^2 é positivo). O gráfico vai passar pelos pontos calculados e mostrar como a velocidade varia com o tempo no intervalo de -4s a 4s.

Resposta

A função velocidade é:
v(t) = 2 t^2 - 7 t + 3
O gráfico dessa função, no intervalo de tempo de -4 segundos a 4 segundos, é uma parábola aberta para cima passando pelos pontos (-4, 63), (-2, 25), (0, 3), (2, -3) e (4, 7).

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