Um fóton ioniza um átomo de hidrogênio do estado fundamental. O elétron liberado se recombina com um próton no primeiro estado excitado, emitindo um fóton de 466 Å de comprimento de onda. Quais são (a) a energia do elétron livre e (b) a energia do fóton original.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fóton que ioniza um átomo de hidrogênio no estado fundamental. Isso significa que o fóton tem energia suficiente para remover o elétron do átomo. Depois, esse elétron liberado se recombina com um próton formando novamente um átomo de hidrogênio, mas agora no primeiro estado excitado, e nessa recombinação ele emite um fóton com comprimento de onda de 466 Å.
Conteúdo da matéria: Física Quântica, especificamente sobre os níveis de energia do átomo de hidrogênio e a ionização.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da energia de um fóton:
  • Níveis de energia do átomo de hidrogênio:
  • Conceito de ionização e energia cinética do elétron livre.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do fóton que foi emitido quando o elétron se recombina ao próton. Sabemos que o comprimento de onda desse fóton é de 466 Å (angstroms). Precisamos converter esse valor para metros para usar na fórmula:
466 , Å = 466 times 10^-10 , m Å
Agora, usamos a fórmula da energia do fóton:
E = hclambda
Onde:
  • E = 6,626 times 10^-34 , J·s times 3,00 times 10^8 , m/s466 times 10^-10 , m é a constante de Planck ( E approx 4,27 times 10^-19 , J )
  • E approx 4,27 times 10^-19 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx 2,67 , eV é a velocidade da luz ( )
  • é o comprimento de onda
Vamos calcular:
Para facilitar, vamos converter essa energia para elétron-volts (eV). Sabemos que :

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o elétron se recombina ao próton retornando ao primeiro estado excitado ( E2 = -13,6 , eV2^2 = -13,64 = -3,4 , eV ). A energia desse nível ( E1 = -13,6 , eV ) é:
Eionização = 0 - (-3,4) = 3,4 , eV
O estado fundamental ( ) tem energia:
A diferença de energia entre e (estado livre) é:
çã
Isso significa que para ionizar o átomo de hidrogênio no estado , precisamos de 3,4 eV.

Passo 4

Agora, voltamos ao primeiro processo: o fóton original ioniza o átomo de hidrogênio no estado fundamental ( Eoriginal = Eionização + Ek ). A energia de ionização do hidrogênio no estado fundamental é de 13,6 eV. Além disso, o elétron liberado possui uma energia cinética .
A energia total do fóton original ( ) é a soma da energia necessária para ionizar o átomo e da energia cinética do elétron:
çã
Onde:
  • çã
  • é a energia do elétron livre (parte a pedir no exercício)

Passo 5

Sabemos que, após a recombinação, o elétron emitiu um fóton de 2,67 eV ao passar do nível Ek = 2,67 , eV para o estado livre ( ). Isso quer dizer que a energia cinética do elétron livre ( ) é igual à energia do fóton emitido:

Resposta

(a) A energia do elétron livre é de 2,67 eV.
(b) A energia do fóton original é de 16,27 eV.

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