Um fóton ioniza um átomo de hidrogênio do estado fundamental. O elétron liberado se recombina com um próton no primeiro estado excitado, emitindo um fóton de 466 Å de comprimento de onda. Quais são (a) a energia do elétron livre e (b) a energia do fóton original.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fóton que ioniza um átomo de hidrogênio no estado fundamental. Isso significa que o fóton tem energia suficiente para remover o elétron do átomo. Depois, esse elétron liberado se recombina com um próton formando novamente um átomo de hidrogênio, mas agora no primeiro estado excitado, e nessa recombinação ele emite um fóton com comprimento de onda de 466 Å.
Conteúdo da matéria: Física Quântica, especificamente sobre os níveis de energia do átomo de hidrogênio e a ionização.
O que vamos precisar:
- Fórmula da energia de um fóton:
- Níveis de energia do átomo de hidrogênio:
- Conceito de ionização e energia cinética do elétron livre.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do fóton que foi emitido quando o elétron se recombina ao próton. Sabemos que o comprimento de onda desse fóton é de 466 Å (angstroms). Precisamos converter esse valor para metros para usar na fórmula:
Agora, usamos a fórmula da energia do fóton:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ) -
é a velocidade da luz ( ) -
é o comprimento de onda
Vamos calcular:
Para facilitar, vamos converter essa energia para elétron-volts (eV). Sabemos que
:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o elétron se recombina ao próton retornando ao primeiro estado excitado (
). A energia desse nível (
) é:
O estado fundamental (
) tem energia:
A diferença de energia entre
e
(estado livre) é:
Isso significa que para ionizar o átomo de hidrogênio no estado
, precisamos de 3,4 eV.
Passo 4
Agora, voltamos ao primeiro processo: o fóton original ioniza o átomo de hidrogênio no estado fundamental (
). A energia de ionização do hidrogênio no estado fundamental é de 13,6 eV. Além disso, o elétron liberado possui uma energia cinética
.
A energia total do fóton original (
) é a soma da energia necessária para ionizar o átomo e da energia cinética do elétron:
Onde:
-
-
é a energia do elétron livre (parte a pedir no exercício)
Passo 5
Sabemos que, após a recombinação, o elétron emitiu um fóton de 2,67 eV ao passar do nível
para o estado livre (
). Isso quer dizer que a energia cinética do elétron livre (
) é igual à energia do fóton emitido:
Resposta
(a) A energia do elétron livre é de 2,67 eV.
(b) A energia do fóton original é de 16,27 eV.