Um múon pode ser capturado por um múon para formar um átomo muônico. O múon é uma partícula igual ao elétron, exceto pela massa, que é
.
a) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico.
b) Calcule o valor absoluto da energia do estado fundamental.
c) Qual é o menor comprimento de onda da série de Lyman para este átomo?
a) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico.
b) Calcule o valor absoluto da energia do estado fundamental.
c) Qual é o menor comprimento de onda da série de Lyman para este átomo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre átomos muônicos usando o modelo de Bohr. O enunciado pede para calcular o raio da primeira órbita, a energia do estado fundamental e o menor comprimento de onda da série de Lyman para um átomo muônico. Para isso, vamos precisar entender como o modelo de Bohr funciona e como a massa do múon influencia nesses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico. No modelo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
Onde:
- $ n $ é o número quântico principal (para a primeira órbita, $ n = 1 $)
- $ \hbar $ é a constante reduzida de Planck ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $)
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} $)
- $ m $ é a massa da partícula (no caso, o múon)
- $ e $ é a carga do elétron
Como estamos lidando com um átomo muônico, a massa $ m $ será a massa do múon, que é $ 105,7 , MeV/c^2 $. Precisamos converter essa massa para unidades do Sistema Internacional (kg) para usar na fórmula.
Passo 3
Vamos converter a massa do múon de $ MeV/c^2 $ para kg. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do raio de Bohr. Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 5
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Então,
Resposta
O raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico é aproximadamente $ 2,56 \times 10^{-13} $ metros.