Um múon pode ser capturado por um múon para formar um átomo muônico. O múon é uma partícula igual ao elétron, exceto pela massa, que é 105,7 MeV / c^2.
a) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico.
b) Calcule o valor absoluto da energia do estado fundamental.
c) Qual é o menor comprimento de onda da série de Lyman para este átomo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre átomos muônicos usando o modelo de Bohr. O enunciado pede para calcular o raio da primeira órbita, a energia do estado fundamental e o menor comprimento de onda da série de Lyman para um átomo muônico. Para isso, vamos precisar entender como o modelo de Bohr funciona e como a massa do múon influencia nesses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico. No modelo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
rn = n^2 cdot hbar^2k cdot m cdot e^2
Onde:
  • $ n $ é o número quântico principal (para a primeira órbita, $ n = 1 $)
  • $ \hbar $ é a constante reduzida de Planck ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $)
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} $)
  • $ m $ é a massa da partícula (no caso, o múon)
  • $ e $ é a carga do elétron
Como estamos lidando com um átomo muônico, a massa $ m $ será a massa do múon, que é $ 105,7 , MeV/c^2 $. Precisamos converter essa massa para unidades do Sistema Internacional (kg) para usar na fórmula.

Passo 3

Vamos converter a massa do múon de $ MeV/c^2 $ para kg. Sabemos que:
MeV/c^2
Então,
1 , eV/c^2 = 1.7827 times 10^-36 , kg

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do raio de Bohr. Sabemos que:
hbar = 1.0545718 times 10^-34 , J·s
k = 8.988 times 10^9 , N·m^2/C^2
e = 1.602 times 10^-19 , C
n = 1
m = 1.884 times 10^-28 , kg
Substituindo esses valores:
r1 = 1^2 cdot (1.0545718 times 10^-34)^28.988 times 10^9 cdot 1.884 times 10^-28 cdot (1.602 times 10^-19)^2

Passo 5

Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
(1.0545718 times 10^-34)^2 = 1.112 times 10^-68 , J^2s^2
Agora, o denominador:
8.988 times 10^9 cdot 1.884 times 10^-28 cdot (1.602 times 10^-19)^2 = 8.988 times 10^9 cdot 1.884 times 10^-28 cdot 2.566 times 10^-38 approx 4.35 times 10^-56 , N·m^2
Então,

Resposta

O raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico é aproximadamente $ 2,56 \times 10^{-13} $ metros.

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