Um fóton pode sofrer várias interações de espalhamento Compton (espalhamento múltiplo Compton). Utilize a expressão geral encontrada em (a) e encontre a expressão para a energia h nu do fóton após sofrer três espalhamentos Compton sucessivos, cada sob o ângulo de 60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a energia $ h \nu $ de um fóton depois que ele sofre três espalhamentos Compton seguidos, cada um com um ângulo de $ 60^{\circ} $. Isso está na área da física que estuda interações entre fótons e partículas, especificamente os espalhamentos Compton. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do espalhamento Compton e aplicá-la três vezes seguidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do espalhamento Compton. Quando um fóton bate em um elétron, sua energia muda de acordo com o ângulo de espalhamento. A fórmula geral para a energia do fóton após um espalhamento Compton é:
h nu' = h nu1 + h nume c^2 (1 - cos theta)
Aqui:
  • $ h \nu $ é a energia inicial do fóton.
  • $ h \nu’ $ é a energia do fóton após o espalhamento.
  • $ m_e $ é a massa do elétron.
  • $ c $ é a velocidade da luz.
  • $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.

Passo 3

Como cada espalhamento tem um ângulo de $ 60^{\circ} $, vamos substituir $ \theta = 60^{\circ} $ na fórmula. Mas antes, vamos entender que após cada espalhamento, a energia do fóton muda e essa nova energia será a que entra no próximo espalhamento.

Passo 4

Vamos chamar a energia inicial do fóton de $ h \nu_0 $. Após o primeiro espalhamento:
h nu0
Sabemos que $ \cos 60^{\circ} = 0.5 $, então:
h nu1 = h nu01 + h nu0me c^2 (1 - cos 60^circ)

Passo 5

Depois do segundo espalhamento, a energia será:
h nu2 = h nu11 + h nu1me c^2 (1 - 0.5) = h nu11 + h nu12 me c^2
Substituindo $ h \nu_1 $ da etapa anterior:
h nu1
Simplificando:
h nu2 = h nu01 + h nu02 me c^21 + h nu01 + h nu02 me c^22 me c^2 = h nu0(1 + h nu02 me c^2) + h nu02 me c^2

Passo 6

Finalmente, após o terceiro espalhamento:
h nu3 = h nu21 + h nu2me c^2 (1 - 0.5) = h nu21 + h nu22 me c^2
Substituindo $ h \nu_2 $:
h nu2
Simplificando ainda mais:
h nu3 = h nu01 + h nu0me c^21 + h nu01 + h nu0me c^22 me c^2 = h nu0(1 + h nu0me c^2) + h nu02 me c^2

Resposta

Após três espalhamentos Compton sucessivos a 60^circ, a energia do fóton fica:
h nu = h nu01 + 3 h nu02 me c^2

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