Um fóton de raios X com frequência inicial f=4 times 10^13 Hz incide sobre um elétron livre em repouso. Durante a interação, o fóton é espalhado a um ângulo de theta=45^circ.
Qual a variação de energia De do fóton?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fóton de raios X com uma certa frequência ( f = 4 times 10^13 Hz) que bate em um elétron que está parado. Depois da colisão, o fóton muda de direção, se espalhando em um ângulo de 45^circ. A gente precisa descobrir qual foi a variação de energia ( De) desse fóton durante esse processo.
Para resolver isso, vamos usar o Efeito Compton, que descreve como a energia de um fóton muda quando ele colide com um elétron. Precisamos lembrar das fórmulas relacionadas à energia dos fótons e ao espalhamento Compton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia de um fóton ( E) está relacionada à sua frequência ( f) pela fórmula:
E = h times f
Onde h é a constante de Planck, que vale aproximadamente 6,626 times 10^-34 J cdot s.
Vamos calcular a energia inicial ( Ei) do fóton antes da colisão.

Passo 3

Usando a fórmula E = h times f, temos:
Ei = 6,626 times 10^-34 J cdot s times 4 times 10^13 Hz = 2,6504 times 10^-20 J
Então, a energia inicial do fóton é aproximadamente 2,65 times 10^-20 J.

Passo 4

Agora, vamos utilizar a fórmula do Efeito Compton para encontrar a energia final ( Ef) do fóton após a colisão. A fórmula do desvio no comprimento de onda é dada por:
De
Mas como queremos a variação de energia, vamos relacionar as energias antes e depois usando:
1Ef - 1Ei = 1me c^2(1 - cos theta)
Onde:
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 kg)
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 m/s)
  • theta é o ângulo de espalhamento ( 45^circ)

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para encontrar Ef:
1Ef = 1Ei + 1me c^2(1 - cos theta)
Primeiro, calculamos o termo 1me c^2(1 - cos theta):
cos 45^circ = raiz22 approx 0,7071
Então:
1 - cos 45^circ approx 1 - 0,7071 = 0,2929
E:
me c^2 = 9,109 times 10^-31 kg times (3 times 10^8 m/s)^2 = 8,187 times 10^-14 J
Portanto:
1me c^2(1 - cos theta) = 0,29298,187 times 10^-14 J approx 3,575 times 10^12 J^-1

Passo 6

Agora, somamos com 1Ei:
1Ei = 12,6504 times 10^-20 J approx 3,774 times 10^19 J^-1
Então:
1Ef = 3,774 times 10^19 J^-1 + 3,575 times 10^12 J^-1 approx 3,774 times 10^19 J^-1
Já que 3,575 times 10^12 é muito menor que 3,774 times 10^19, podemos considerar que 1Ef approx 1Ei.

Passo 7

Isso implica que Ef approx Ei, o que sugere que a variação de energia De é muito pequena. Porém, para maior precisão, vamos considerar a diferença:
Ef approx 11Ei + 1me c^2(1 - cos theta) approx 13,774 times 10^19 + 3,575 times 10^12 J^-1 approx Ei - De
Portanto, a variação de energia é:
De

Passo 8

Vamos calcular De usando a aproximação:
De
Primeiro, calculamos (2,6504 times 10^-20)^2:
(2,6504 times 10^-20)^2 approx 7,023 times 10^-40 J^2
Então:
De

Resposta

A variação de energia do fóton é aproximadamente De.

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