Um fóton de raios X , de 6,2 \mathrm{keV}, incidindo sobre um bloco de carbono, é espalhado por efeito Compton e a sua frequência sofre um deslocamento de 0,010 \%. (a) Qual é o ângulo de espalhamento do fóton? (b) Qual é a energia cinética adquirida pelo elétron?
  1. Um

Passo 1

O enunciado diz que um fóton de raios X com energia inicial E=6{,}2\\ \mathrm{keV} sofre espalhamento Compton num bloco de carbono e sua frequência diminui em 0{,}010\%. Precisamos achar (a) o ângulo de espalhamento \theta e (b) a energia cinética do elétron.
Para isso, vamos usar:
  1. A relação entre frequência e comprimento de onda
f=\frac{c}{\lambda}\,,
logo para pequenas variações
\frac{\Delta f}{f}=-\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\,.
  1. A fórmula do desvio de Compton
\Delta \lambda = \lambda_C\,(1-\cos\theta)\,,
onde
\lambda_C = \frac{h}{m_e c}\approx 2{,}43\times 10^{-12}\,\mathrm{m}\,.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda inicial \lambda do fóton a partir de
\lambda = \frac{hc}{E}\,.
Usando hc=1{,}986\times10^{-25}\,\mathrm{J\cdot m} e E=6{,}2\times10^3\cdot1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}, obtemos
\lambda \approx 2{,}00\times10^{-10}\,\mathrm{m}\,.

Passo 3

A variação relativa de frequência é \frac{\Delta f}{f}=-0{,}0001, então
\Delta \lambda = -\frac{\Delta f}{f}\,\lambda = 0{,}0001\;\lambda
\Delta \lambda = 0{,}0001\times 2{,}00\times10^{-10}\,\mathrm{m} = 2{,}00\times10^{-14}\,\mathrm{m}\,.

Passo 4

Usando \Delta \lambda = \lambda_C(1-\cos\theta), temos
1-\cos\theta = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_C} = \frac{2{,}00\times10^{-14}}{2{,}43\times10^{-12}} \approx 0{,}00823
\cos\theta = 1 - 0{,}00823 = 0{,}99177 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}(0{,}99177)\approx 7{,}4^\circ\,.

Passo 5

A energia cinética do elétron é a energia perdida pelo fóton:
\Delta E = E - E' \approx E\cdot\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 6{,}2\\ \mathrm{keV}\times 0{,}0001 = 0{,}00062\\ \mathrm{keV} = 0{,}62\\ \mathrm{eV}\,.
Em joules:
0{,}62\\ \mathrm{eV}\times1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV} \approx 9{,}9\times10^{-20}\,\mathrm{J}\,.

Resposta

(a) \theta \approx 7{,}4^\circ
(b) K_e \approx 0{,}62\\ \mathrm{eV}\\ (\approx 9{,}9\times10^{-20}\\ \mathrm{J})

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