Suppose you need to know an equation of the tangent plane to a surface S at the point P(2,1,3). You don’t have an equation for S but you know that the curves
\begin{aligned} & \mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 2+3 t, 1-t^{2}, 3-4 t+t^{2}\right\rangle \\\ & \mathbf{r}_{2}(u)=\left\langle 1+u^{2}, 2 u^{3}-1,2 u+1\right\rangle \end{aligned}
both lie on S. Find an equation of the tangent plane at P.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície S em P(2,1,3). Como não temos a equação de S, mas sabemos que as curvas \mathbf{r}_1(t) e \mathbf{r}_2(u) contidas em S passam por P, podemos obter o plano tangente cruzando os vetores tangentes a essas curvas em P para achar um vetor normal \mathbf{n}.

Passo 2

Para \mathbf{r}_1(t_0)=P basta resolver 2+3t_0=2, 1-t_0^2=1 e 3-4t_0+t_0^2=3, o que dá t_0=0.
Para \mathbf{r}_2(u_0)=P resolvemos 1+u_0^2=2, 2u_0^3-1=1 e 2u_0+1=3, obtendo u_0=1.

Passo 3

As derivadas são
\mathbf{r}_1'(t)=\langle3,-2t,-4+2t\rangle
\mathbf{r}_2'(u)=\langle2u,6u^2,2\rangle
Em t_0=0 e u_0=1 obtemos
\mathbf{v}_1=\mathbf{r}_1'(0)=\langle3,0,-4\rangle,\quad \mathbf{v}_2=\mathbf{r}_2'(1)=\langle2,6,2\rangle.

Passo 4

O vetor normal é \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2. Calculando o determinante:
\mathbf{n}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 3&0&-4\\\\ 2&6&2 \end{vmatrix} =\langle24,-14,18\rangle.
Dividindo por 2 fica
\mathbf{n}=\langle12,-7,9\rangle.

Passo 5

A equação do plano tangente em P(2,1,3) com normal \langle12,-7,9\rangle é
12(x-2)-7(y-1)+9(z-3)=0.

Resposta

12(x-2)-7(y-1)+9(z-3)=0.

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