(A) 1
(B) 0
(C)
D)
(A) 1
(B) 0
(C)
D)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
e dá as alternativas:
(A)
(B)
(C)
(D) .
(A)
(B)
(C)
(D)
Informações relevantes dadas:
- A expressão original é
. - Há uma raiz quadrada
, logo é preciso ter para trabalhar com números reais (isto é, ). - O denominador é
, portanto a expressão não está definida em .
Passo 2
Observação sobre domínio (isso é importante sempre que aparece raiz e divisão):
- A raiz exige
. - A divisão exige
.
Portanto todas as manipulações a seguir são válidas parae . (A simplificação algébrica envolverá cancelar um fator , por isso é crucial lembrar .)
Passo 3
Estratégia de resolução (ferramenta que vou usar): racionalizar o numerador.
- Explicando a ideia: quando aparece uma diferença envolvendo uma raiz, por exemplo
, é útil multiplicar numerador e denominador pela conjugada . Isso porque
uma identidade que elimina a raiz no produto. Aqui a conjugada de
é
.
Passo 4
Multiplico numerador e denominador pela conjugada
(isto não muda o valor da fração, desde que o fator usado para multiplicar não seja zero):
Agora uso a identidade de diferença de quadrados no numerador:
Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Cancelar o
(novamente lembrando que isso só é permitido se
):
Portanto a expressão simplificada é
, para
e
.
Passo 6
Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): escolha
(satisfaz
e
).
- Avaliando a expressão original:
- Avaliando a forma simplificada:
Concorda, então a simplificação está correta.
Resposta
(C)