\frac{(x+1)^{1 / 2}-1}{x}=
(A) 1
(B) 0
(C) \frac{1}{(x+1)^{1 / 2}+1}
D) \frac{1}{(x+1)^{1 / 2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{(x+1)^{1/2}-1}{x}
e dá as alternativas:
(A) \,1
(B) \,0
(C) \dfrac{1}{(x+1)^{1/2}+1}
(D) \dfrac{1}{(x+1)^{1/2}-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão original é \dfrac{(x+1)^{1/2}-1}{x}.
  • Há uma raiz quadrada (x+1)^{1/2}, logo é preciso ter x+1\ge 0 para trabalhar com números reais (isto é, x\ge -1).
  • O denominador é x, portanto a expressão não está definida em x=0.

Passo 2

Observação sobre domínio (isso é importante sempre que aparece raiz e divisão):
  • A raiz exige \,x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1.
  • A divisão exige x\neq 0.
    Portanto todas as manipulações a seguir são válidas para x\ge -1 e x\neq 0. (A simplificação algébrica envolverá cancelar um fator x, por isso é crucial lembrar x\neq0.)

Passo 3

Estratégia de resolução (ferramenta que vou usar): racionalizar o numerador.
  • Explicando a ideia: quando aparece uma diferença envolvendo uma raiz, por exemplo \sqrt{a}-b, é útil multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{a}+b. Isso porque
(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)=a-b^2,
uma identidade que elimina a raiz no produto. Aqui a conjugada de (x+1)^{1/2}-1 é (x+1)^{1/2}+1.

Passo 4

Multiplico numerador e denominador pela conjugada (x+1)^{1/2}+1 (isto não muda o valor da fração, desde que o fator usado para multiplicar não seja zero):
\frac{(x+1)^{1/2}-1}{x}\cdot\frac{(x+1)^{1/2}+1}{(x+1)^{1/2}+1} = \frac{\big((x+1)^{1/2}-1\big)\big((x+1)^{1/2}+1\big)}{x\big((x+1)^{1/2}+1\big)}.
Agora uso a identidade de diferença de quadrados no numerador:
\big((x+1)^{1/2}-1\big)\big((x+1)^{1/2}+1\big)=(x+1)-1=x.
Substituindo isso na expressão:
\frac{x}{x\big((x+1)^{1/2}+1\big)}.

Passo 5

Cancelar o x (novamente lembrando que isso só é permitido se x\neq 0):
\frac{x}{x\big((x+1)^{1/2}+1\big)}=\frac{1}{(x+1)^{1/2}+1}.
Portanto a expressão simplificada é \dfrac{1}{(x+1)^{1/2}+1}, para x\ge -1 e x\neq0.

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): escolha x=3 (satisfaz x\ge-1 e x\neq0).
  • Avaliando a expressão original:
\frac{(3+1)^{1/2}-1}{3}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}.
  • Avaliando a forma simplificada:
\frac{1}{(3+1)^{1/2}+1}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}.
Concorda, então a simplificação está correta.

Resposta

(C) \dfrac{1}{(x+1)^{1/2}+1}

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