e pede a solução geral r(\theta). As informações relevantes são:
A incógnita é a função r dependente da variável \theta.
A equação relaciona \frac{d r}{d \theta}, r e funções trigonométricas de \theta.
Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral com constante arbitrária C.
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. Aqui a equação está na forma em que aparece uma derivada \frac{d r}{d\theta} somada a uma função multiplicando r igual a outra função de \theta. Para esses casos o método mais direto é multiplicar por um fator integrante \mu(\theta) que transforme o lado esquerdo numa derivada exata de um produto \mu(\theta)\,r(\theta). Esse método dá uma sequência mecânica e rápida que consigo aplicar na prova sem muitas travas.
Passo 3
Explico a ideia do fator integrante de forma bem prática. Se temos uma equação da forma
\frac{d r}{d\theta}+P(\theta)\,r=Q(\theta),
procuramos \mu(\theta) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu, o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu r:
\mu\frac{d r}{d\theta}+\mu P r = \frac{d}{d\theta}\big(\mu r\big).
Para simplificar a escrita podemos tomar \mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta, pois qualquer sinal fica absorvido na constante de integração final.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por \mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. A equação vira
Se quisermos uma forma que evite \operatorname{sec} e \tan no denominador, multiplicamos numerador e denominador por \cos\theta e obtemos uma forma equivalente: