\frac{d r}{d \theta}+r \operatorname{sec} \theta=\cos \theta

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d r}{d \theta}+r \operatorname{sec} \theta=\cos \theta
e pede a solução geral r(\theta). As informações relevantes são:
  • A incógnita é a função r dependente da variável \theta.
  • A equação relaciona \frac{d r}{d \theta}, r e funções trigonométricas de \theta.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral com constante arbitrária C.

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. Aqui a equação está na forma em que aparece uma derivada \frac{d r}{d\theta} somada a uma função multiplicando r igual a outra função de \theta. Para esses casos o método mais direto é multiplicar por um fator integrante \mu(\theta) que transforme o lado esquerdo numa derivada exata de um produto \mu(\theta)\,r(\theta). Esse método dá uma sequência mecânica e rápida que consigo aplicar na prova sem muitas travas.

Passo 3

Explico a ideia do fator integrante de forma bem prática. Se temos uma equação da forma
\frac{d r}{d\theta}+P(\theta)\,r=Q(\theta),
procuramos \mu(\theta) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu, o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu r:
\mu\frac{d r}{d\theta}+\mu P r = \frac{d}{d\theta}\big(\mu r\big).
Desenvolvendo o lado direito obtemos
\frac{d}{d\theta}\big(\mu r\big)=\mu\frac{d r}{d\theta}+\frac{d\mu}{d\theta}r,
logo precisamos que \frac{d\mu}{d\theta}=\mu P(\theta). Isso é uma equação simples para \mu, cuja solução é
\mu(\theta)=\exp\!\left(\int P(\theta)\,d\theta\right).
No nosso caso P(\theta)=\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Calculamos o fator integrante \mu(\theta). Primeiro a integral de P:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Há um truque bonito para essa integral: observe que
\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^2\theta=\operatorname{sec}\theta(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta).
Dividindo ambos os lados por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta vemos que
\frac{d}{d\theta}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|=\operatorname{sec}\theta.
Portanto
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|+C.
Assim o fator integrante (desprezando a constante multiplicativa que pode ser absorvida depois) é
\mu(\theta)=\exp\!\big(\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\big)=|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|.
Para simplificar a escrita podemos tomar \mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta, pois qualquer sinal fica absorvido na constante de integração final.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. A equação vira
(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\frac{d r}{d\theta}+(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\operatorname{sec}\theta\,r=(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\cos\theta.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{d\theta}\big((\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)r\big)=(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\cos\theta.

Passo 6

Simplificamos o lado direito usando identidades trigonométricas simples:
(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\cos\theta=\operatorname{sec}\theta\cos\theta+\tan\theta\cos\theta=1+\sin\theta,
porque \operatorname{sec}\theta\cos\theta=1 e \tan\theta\cos\theta=\sin\theta.

Passo 7

Agora integramos ambos os lados em relação a \theta:
\int \frac{d}{d\theta}\big((\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)r\big)\,d\theta=\int (1+\sin\theta)\,d\theta.
A integral do lado esquerdo é simplesmente (\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)r. A integral do lado direito é
\int (1+\sin\theta)\,d\theta=\theta-\cos\theta + C,
pois \int 1\,d\theta=\theta e \int \sin\theta\,d\theta=-\cos\theta. Logo:
(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)r=\theta-\cos\theta+C.

Passo 8

Finalmente isolamos r(\theta):
r(\theta)=\frac{\theta-\cos\theta+C}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}.
Se quisermos uma forma que evite \operatorname{sec} e \tan no denominador, multiplicamos numerador e denominador por \cos\theta e obtemos uma forma equivalente:
r(\theta)=\frac{\theta\cos\theta-\cos^2\theta+C\cos\theta}{1+\sin\theta}.
Ambas representam a solução geral; C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

r(\theta)=\frac{\theta-\cos\theta+C}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}

Exercícios relacionados