Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
sobre o qual essa solução está definida (ou seja, o maior intervalo que contém onde a solução existe e é única).
Passo 2
Vamos pôr a equação numa forma padrão para aplicar um método sistemático. Dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige
), obtemos
Aqui identificamos o coeficiente de
como
e o termo do lado direito como
. Note que
e
só estão definidos em pontos onde
, por isso já fica claro que
é uma singularidade da equação.
Passo 3
Explicando a técnica usada: para uma equação da forma
usamos o fator integrante
definido por
Esse fator tem a propriedade de transformar o lado esquerdo na derivada do produto
, isto é,
Aplicando isso facilita a integração para obter
.
Passo 4
Calculemos o fator integrante para o nosso caso:
, então
Portanto
Como a condição inicial está em
(que é positivo), trabalharemos no ramo
, onde
. Então escolhemos
para o intervalo que contém
.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
(válido para
) temos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Logo obtemos a equação simples
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
, onde
é a constante de integração. Assim
Isolando
obtemos a solução geral (válida para
, e no nosso caso para
):
Passo 7
Aplique a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
dá
Portanto
Substituindo
na solução geral resulta a solução particular
válida para
.
Passo 8
Determinar o maior intervalo
contendo
onde a solução existe e é única. Observações importantes:
- As funções
e são contínuas em qualquer intervalo que não contenha . - Pelo teorema de existência e unicidade, a solução da equação linear existe e é única em qualquer intervalo aberto que contenha o ponto inicial e onde
e sejam contínuas.
Como o ponto inicial é, o maior intervalo aberto que contém e não contém a singularidade é
Portanto a solução encontrada é válida e única em
. Não é possível estendê-la de forma contínua e diferenciável através de
porque ali os coeficientes da equação deixam de ser definidos.