Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x y^{\prime}+y=e^{x}, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y'(x)+y(x)=e^{x},\qquad y(1)=2.
O que se pede:
  1. Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  2. Determinar o maior intervalo I sobre o qual essa solução está definida (ou seja, o maior intervalo que contém x=1 onde a solução existe e é única).

Passo 2

Vamos pôr a equação numa forma padrão para aplicar um método sistemático. Dividindo ambos os lados por x (atenção: isso exige x\neq0), obtemos
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=\frac{e^{x}}{x}.
Aqui identificamos o coeficiente de y como p(x)=\dfrac{1}{x} e o termo do lado direito como q(x)=\dfrac{e^{x}}{x}. Note que p e q só estão definidos em pontos onde x\neq0, por isso já fica claro que x=0 é uma singularidade da equação.

Passo 3

Explicando a técnica usada: para uma equação da forma
y'+p(x)y=q(x)
usamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Esse fator tem a propriedade de transformar o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big).
Aplicando isso facilita a integração para obter y.

Passo 4

Calculemos o fator integrante para o nosso caso: p(x)=\dfrac{1}{x}, então
\int p(x)\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como a condição inicial está em x=1 (que é positivo), trabalharemos no ramo x>0, onde |x|=x. Então escolhemos \mu(x)=x para o intervalo que contém 1.

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x (válido para x>0) temos
x\big(y'(x)+\tfrac{1}{x}y(x)\big)=x\cdot\frac{e^{x}}{x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y(x), pois
\frac{d}{dx}\big(x\,y(x)\big)=x\,y'(x)+y(x).
Logo obtemos a equação simples
\frac{d}{dx}\big(x\,y(x)\big)=e^{x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x\,y(x)\big)\,dx=\int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é x\,y(x) e a do direito é e^{x}+C, onde C é a constante de integração. Assim
x\,y(x)=e^{x}+C.
Isolando y(x) obtemos a solução geral (válida para x\neq0, e no nosso caso para x>0):
y(x)=\frac{e^{x}+C}{x}.

Passo 7

Aplique a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituindo x=1 e y(1)=2 em \;y(x)=\dfrac{e^{x}+C}{x}\;
2=\frac{e^{1}+C}{1}=e+C.
Portanto
C=2-e.
Substituindo C na solução geral resulta a solução particular
y(x)=\frac{e^{x}+2-e}{x}=\frac{e^{x}-e+2}{x},
válida para x\neq0.

Passo 8

Determinar o maior intervalo I contendo x=1 onde a solução existe e é única. Observações importantes:
  • As funções p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=\dfrac{e^{x}}{x} são contínuas em qualquer intervalo que não contenha 0.
  • Pelo teorema de existência e unicidade, a solução da equação linear existe e é única em qualquer intervalo aberto que contenha o ponto inicial e onde p e q sejam contínuas.
    Como o ponto inicial é x=1>0, o maior intervalo aberto que contém 1 e não contém a singularidade x=0 é
(0,\infty).
Portanto a solução encontrada é válida e única em I=(0,\infty). Não é possível estendê-la de forma contínua e diferenciável através de x=0 porque ali os coeficientes da equação deixam de ser definidos.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{e^{x}-e+2}{x}\n \displaystyle I=(0,\infty)

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