Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações relevantes: a equação está escrita com um fator
multiplicando
, portanto devemos tomar cuidado com o ponto
(não podemos dividir por zero). A solução procurada será válida para
.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma linear padrão
. Para isso dividimos toda a equação por
(lembre que isso exige
):
Aqui
é a função
e
é
. Explicando: transformar para essa forma nos permite usar o método do fator integrante, que é a técnica clássica para equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
O fator integrante
é definido por
Calculamos a integral:
Portanto
Como a potência é par, podemos usar
(isso funciona em cada intervalo onde
tem sinal fixo). O papel do fator integrante é que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicamos a equação em forma padrão por
:
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. Para ver isso, aplicamos a regra do produto:
logo a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculamos as primitivas (a regra básica é
para
):
Assim obtemos, acrescentando a constante de integração
:
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente com
):
Simplificando as potências:
Aqui
é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral válida em cada intervalo onde
mantém sinal (por exemplo
ou
); podemos reescrever
como
se preferir.