x \frac{d y}{d x}+4 y=x^{3}-x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+4y=x^{3}-x
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes: a equação está escrita com um fator x multiplicando \frac{dy}{dx}, portanto devemos tomar cuidado com o ponto x=0 (não podemos dividir por zero). A solução procurada será válida para x\neq0.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma linear padrão \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). Para isso dividimos toda a equação por x (lembre que isso exige x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y = x^{2}-1.
Aqui \frac{4}{x} é a função P(x) e x^{2}-1 é Q(x). Explicando: transformar para essa forma nos permite usar o método do fator integrante, que é a técnica clássica para equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right).
Calculamos a integral:
\int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=e^{4\ln|x|}=|x|^{4}.
Como a potência é par, podemos usar \mu(x)=x^{4} (isso funciona em cada intervalo onde x tem sinal fixo). O papel do fator integrante é que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y.

Passo 4

Multiplicamos a equação em forma padrão por x^{4}:
x^{4}\frac{dy}{dx}+4x^{3}y = x^{6}-x^{4}.
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto x^{4}y. Para ver isso, aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}y\big) = x^{4}\frac{dy}{dx}+4x^{3}y,
logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{4}y\big)=x^{6}-x^{4}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{4}y=\int (x^{6}-x^{4})\,dx = \int x^{6}\,dx - \int x^{4}\,dx.
Calculamos as primitivas (a regra básica é \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7},\qquad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Assim obtemos, acrescentando a constante de integração C:
x^{4}y=\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{5}}{5}+C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por x^{4} (novamente com x\neq0):
y=\frac{x^{7}}{7x^{4}}-\frac{x^{5}}{5x^{4}}+\frac{C}{x^{4}}.
Simplificando as potências:
y=\frac{x^{3}}{7}-\frac{x}{5}+C x^{-4}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral válida em cada intervalo onde x mantém sinal (por exemplo x>0 ou x<0); podemos reescrever Cx^{-4} como \dfrac{C}{x^{4}} se preferir.

Resposta

y=\frac{x^{3}}{7}-\frac{x}{5}+\frac{C}{x^{4}},\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq0

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