1. \int \sin a u \sin b u d u=\frac{\sin (a-b) u}{2(a-b)}-\frac{\sin (a+b) u}{2(a+b)}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(a u)\,\sin(b u)\,du
usando identidade trigonométrica e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Aplicamos a identidade produto-para-soma
\sin(\alpha)\,\sin(\beta) =\tfrac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr].
Tomando \alpha=a u e \beta=b u, obtemos
\sin(a u)\,\sin(b u) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((a-b)u\bigr)-\cos\bigl((a+b)u\bigr)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sin(a u)\,\sin(b u)\,du =\tfrac12\int \cos\bigl((a-b)u\bigr)\,du -\tfrac12\int \cos\bigl((a+b)u\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente. Para \lambda\neq0,
\int \cos(\lambda u)\,du =\frac{\sin(\lambda u)}{\lambda}.
Logo, com \lambda=a-b e \lambda=a+b,
\tfrac12\int \cos\bigl((a-b)u\bigr)\,du =\frac1{2}\,\frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{a-b},
\tfrac12\int \cos\bigl((a+b)u\bigr)\,du =\frac1{2}\,\frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{a+b}.

Passo 5

Subtraindo os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \sin(a u)\,\sin(b u)\,du =\frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{2(a-b)} -\frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{2(a+b)}+C.

Resposta

\int \sin(a u)\,\sin(b u)\,du =\frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{2(a-b)} -\frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{2(a+b)}+C.

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