Resolva os problemas de valor inicial abaixo?:
y "+\omega^{2} y=F_{0} \cos \left(\omega_{0} t\right), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + \omega^{2}y = F_{0}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Isso pertence ao conteúdo de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos usar o método da solução geral (homogênea) mais uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' + \omega^{2}y = 0.
A equação característica é r^{2} + \omega^{2}=0, com raízes r=\pm i\omega. Logo a solução geral homogênea é
y_{h}(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t). Como o forçamento é F_{0}\cos(\omega_{0}t), supomos
y_{p}(t) = C\cos(\omega_{0}t) + D\sin(\omega_{0}t).
Derivando:
y_{p}'' = -C\,\omega_{0}^{2}\cos(\omega_{0}t) - D\,\omega_{0}^{2}\sin(\omega_{0}t),
e substituindo em y''+\omega^{2}y = F_{0}\cos(\omega_{0}t) temos
(-\omega_{0}^{2}C + \omega^{2}C)\cos(\omega_{0}t) +(-\omega_{0}^{2}D + \omega^{2}D)\sin(\omega_{0}t) = F_{0}\cos(\omega_{0}t).
Comparando coeficientes, vem
(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})\,C = F_{0}, \quad (\omega^{2}-\omega_{0}^{2})\,D = 0 \;\Longrightarrow\; C = \frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}},\; D=0.
Logo
y_{p}(t) = \frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\cos(\omega_{0}t).

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\cos(\omega_{0}t).
Impondo y(0)=0
y(0)=A + \frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; A = -\frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}.
E
y'(t) = -A\,\omega\sin(\omega t) + B\,\omega\cos(\omega t) - \frac{F_{0}\,\omega_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\sin(\omega_{0}t),
logo y'(0)=B\,\omega = 0 implica B=0.

Resposta

y(t) = \frac{F_{0}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\Bigl[\cos(\omega_{0}t) - \cos(\omega t)\Bigr].

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