(5 pontos) Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno:
e . - Não há limites de integração — é uma primitiva indefinida (antiderivada).
O que se pede explicitamente: encontrar uma funçãotal que , e acrescentar a constante de integração .
Passo 2
Observação estratégica (por que escolho esse caminho): quando temos potência ímpar de
ou de
, uma técnica muito prática é separar um fator da função com potência ímpar e usar a identidade pitagórica para transformar o resto em uma potência da outra função, permitindo a substituição
ou
.
Aqui a potência de
é ímpar (
), então vou separar um fator
e escrever
. Depois usarei a identidade
de modo que a substituição
fique direta, porque
.
Passo 3
Reescrevendo a integranda conforme a observação:
Agora substituo
pela identidade:
Portanto a integral fica
Passo 4
Explicando a substituição
: defino
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Essa relação é ótima porque na integranda já temos um fator
. Então posso trocar
por
e
por
.
Passo 5
Aplicando a substituição na integral do Passo 3:
Portanto a integral passa a ser uma integral polinomial simples:
Passo 6
Integro termo a termo usando a regra da potência para primitivação: para
,
Aplicando isso aos termos
e
:
Passo 7
Voltando à variável original usando
. Substituindo
por
na primitiva obtida no Passo 6, obtemos a antiderivada em
(a resposta será apresentada na seção final).