(5 pontos) Calcule a integral \int \cos ^{3}(x) \operatorname{sen}^{6}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{3}(x)\,\operatorname{sen}^{6}(x)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno: \cos^{3}(x) e \operatorname{sen}^{6}(x).
  • Não há limites de integração — é uma primitiva indefinida (antiderivada).
    O que se pede explicitamente: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{3}(x)\operatorname{sen}^{6}(x), e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Observação estratégica (por que escolho esse caminho): quando temos potência ímpar de \cos(x) ou de \operatorname{sen}(x), uma técnica muito prática é separar um fator da função com potência ímpar e usar a identidade pitagórica para transformar o resto em uma potência da outra função, permitindo a substituição u=\operatorname{sen}(x) ou u=\cos(x).
Aqui a potência de \cos(x) é ímpar ( 3), então vou separar um fator \cos(x) e escrever \cos^{3}(x)=\cos^{2}(x)\cos(x). Depois usarei a identidade
\cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x),
de modo que a substituição u=\operatorname{sen}(x) fique direta, porque du=\cos(x)\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integranda conforme a observação:
\cos^{3}(x)\operatorname{sen}^{6}(x)=\cos^{2}(x)\cos(x)\operatorname{sen}^{6}(x).
Agora substituo \cos^{2}(x) pela identidade:
\cos^{2}(x)\cos(x)\operatorname{sen}^{6}(x)=(1-\operatorname{sen}^{2}(x))\operatorname{sen}^{6}(x)\cos(x).
Portanto a integral fica
\int \cos^{3}(x)\operatorname{sen}^{6}(x)\,dx=\int (1-\operatorname{sen}^{2}(x))\operatorname{sen}^{6}(x)\cos(x)\,dx.

Passo 4

Explicando a substituição u=\operatorname{sen}(x): defino
u=\operatorname{sen}(x).
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du=\cos(x)\,dx.
Essa relação é ótima porque na integranda já temos um fator \cos(x)\,dx. Então posso trocar \operatorname{sen}(x) por u e \cos(x)\,dx por du.

Passo 5

Aplicando a substituição na integral do Passo 3:
(1-\operatorname{sen}^{2}(x))\operatorname{sen}^{6}(x)\cos(x)\,dx \longrightarrow (1-u^{2})u^{6}\,du.
Portanto a integral passa a ser uma integral polinomial simples:
\int (1-u^{2})u^{6}\,du=\int (u^{6}-u^{8})\,du.

Passo 6

Integro termo a termo usando a regra da potência para primitivação: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando isso aos termos u^{6} e u^{8}:
\int (u^{6}-u^{8})\,du=\frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{9}}{9}+C.

Passo 7

Voltando à variável original usando u=\operatorname{sen}(x). Substituindo u por \operatorname{sen}(x) na primitiva obtida no Passo 6, obtemos a antiderivada em x (a resposta será apresentada na seção final).

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{7}(x)}{7}-\frac{\operatorname{sen}^{9}(x)}{9}+C

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