(6 pontos) Calcule a integral \int \frac{x^{2}+17 x+10}{(x-5)\left(x^{2}+5\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+17 x+10}{(x-5)\left(x^{2}+5\right)}\,dx.
Informações importantes que temos:
  • A função integranda é uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios.
  • O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3.
  • O denominador fatorou em um fator linear \,x-5 e um quadrático irreduzível \,x^{2}+5 (irreducível sobre os reais porque x^{2}+5 não tem raízes reais).
    O que se pede é a primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Escolha do método: para integrar funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador está fatorado em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, o método recomendado é a decomposição em frações parciais. Vou usar esse método: escrever a integranda como soma de frações mais simples cuja integral é conhecida (logaritmos para fatores lineares e arctan para quadráticos do tipo x^{2}+a^{2}).

Passo 3

Condição inicial: como o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), não é necessário fazer divisão polinomial. Podemos partir direto para a decomposição em frações parciais no formato apropriado para fatores x-5 (linear) e x^{2}+5 (quadrático irreduzível).

Passo 4

Forma geral da decomposição: para o fator linear usamos uma constante no numerador; para o quadrático irreduzível usamos um numerador linear. Assim assumimos
\frac{x^{2}+17x+10}{(x-5)(x^{2}+5)}=\frac{A}{x-5}+\frac{Bx+C}{x^{2}+5},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 5

Encontrar A,B,C: multiplico ambos os lados por (x-5)(x^{2}+5) para eliminar denominadores, obtendo a identidade polinomial
x^{2}+17x+10 = A(x^{2}+5) + (Bx+C)(x-5).
Agora expando o lado direito e igualo coeficientes.

Passo 6

Expansão do lado direito:
A(x^{2}+5) + (Bx+C)(x-5) = A x^{2} + 5A + Bx^{2} -5Bx + Cx -5C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (-5B + C)x + (5A -5C).
Igualando com o lado esquerdo x^{2}+17x+10 obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} 1 = A + B,\\[4pt] 17 = -5B + C,\\[4pt] 10 = 5A - 5C. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema: da terceira equação podemos simplificar dividindo por 5:
2 = A - C \quad\Rightarrow\quad C = A - 2.
Da primeira equação temos B = 1 - A. Substituo B e C na segunda equação:
17 = -5(1-A) + (A-2).
Calculo o lado direito:
-5(1-A) + (A-2) = -5 +5A +A -2 = -7 +6A.
Logo
17 = -7 + 6A \quad\Rightarrow\quad 24 = 6A \quad\Rightarrow\quad A = 4.
Então
B = 1 - A = 1 - 4 = -3, \qquad C = A - 2 = 4 - 2 = 2.

Passo 8

Escrevendo a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+17x+10}{(x-5)(x^{2}+5)}=\frac{4}{x-5}+\frac{-3x+2}{x^{2}+5}.
Portanto a integral se torna
\int \frac{x^{2}+17x+10}{(x-5)(x^{2}+5)}\,dx = \int \frac{4}{x-5}\,dx + \int \frac{-3x+2}{x^{2}+5}\,dx.

Passo 9

Integrar cada parcela separadamente. Primeiro, a integral óbvia:
\int \frac{4}{x-5}\,dx = 4\ln|x-5|.
Agora a integral
\int \frac{-3x+2}{x^{2}+5}\,dx.
Técnica: escrever o numerador como uma combinação da derivada do denominador mais uma constante. Note que \dfrac{d}{dx}(x^{2}+5)=2x. Podemos decompor
-3x+2 = -\frac{3}{2}\cdot(2x) + 2.
Logo
\int \frac{-3x+2}{x^{2}+5}\,dx = -\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+5}\,dx + 2\int \frac{1}{x^{2}+5}\,dx.

Passo 10

Calcular as duas integrais padrão:
  1. Para a primeira,
\int \frac{2x}{x^{2}+5}\,dx
faz a substituição u=x^{2}+5 (ou reconhece que é a derivada do denominador), obtendo \ln(x^{2}+5). Portanto
-\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+5}\,dx = -\frac{3}{2}\ln(x^{2}+5).
  1. Para a segunda,
\int \frac{1}{x^{2}+5}\,dx
é uma forma padrão que leva a arctan. Escreve-se 5=(\sqrt{5})^{2} e usa-se
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right).
Aqui a=\sqrt{5}, então
\int \frac{1}{x^{2}+5}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right).
Multiplicando pelo 2 que aparece:
2\int \frac{1}{x^{2}+5}\,dx = \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right).

Passo 11

Somando todas as partes obtemos a primitiva completa:
\int \frac{x^{2}+17x+10}{(x-5)(x^{2}+5)}\,dx = 4\ln|x-5| - \frac{3}{2}\ln(x^{2}+5) + \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

4\ln|x-5| - \frac{3}{2}\ln(x^{2}+5) + \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C

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