A função integranda é uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios.
O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3.
O denominador fatorou em um fator linear \,x-5 e um quadrático irreduzível \,x^{2}+5 (irreducível sobre os reais porque x^{2}+5 não tem raízes reais).
O que se pede é a primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Escolha do método: para integrar funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador está fatorado em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, o método recomendado é a decomposição em frações parciais. Vou usar esse método: escrever a integranda como soma de frações mais simples cuja integral é conhecida (logaritmos para fatores lineares e arctan para quadráticos do tipo x^{2}+a^{2}).
Passo 3
Condição inicial: como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), não é necessário fazer divisão polinomial. Podemos partir direto para a decomposição em frações parciais no formato apropriado para fatores x-5 (linear) e x^{2}+5 (quadrático irreduzível).
Passo 4
Forma geral da decomposição: para o fator linear usamos uma constante no numerador; para o quadrático irreduzível usamos um numerador linear. Assim assumimos