O que se pede implicitamente é a solução geral \begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} para t arbitrário (não foi dada condição inicial).
Informações relevantes dadas:
matriz constante \mathbf{A} e vetores constantes \mathbf{b} e \mathbf{c};
termo não homogêneo é soma de um vetor multiplicado por e^{-t} e de um vetor multiplicado por t (polinomial de grau 1);
devemos encontrar a solução geral do sistema.]
Passo 2
Escolha do método e justificativa (breve, prática): vamos escrever a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular,
\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_h(t)+\mathbf{x}_p(t).
A solução homogênea do sistema \mathbf{x}'=\mathbf{A}\mathbf{x} é \mathbf{x}_h(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{C} (onde \mathbf{C} é um vetor constante de integração). Explicar o que é e^{\mathbf{A}t}: é a matriz exponencial, que gera combinações lineares de modos exponenciais associados a \mathbf{A}; no entanto, calcular explicitamente e^{\mathbf{A}t} exige achar autovalores/autovetores ou uma série de potências — trabalhoso e desnecessário aqui porque podemos obter uma solução particular explícita e escrever a homogênea na forma e^{\mathbf{A}t}\mathbf{C}.
Para a parte particular, usamos método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients): o termo forçante é \mathbf{b}e^{-t}-\mathbf{c}t, soma de uma exponencial e^{-t} e de um polinômio de grau 1. Como -1 e 0não são autovalores de \mathbf{A} (a verificação foi feita indiretamente ao calcularmos determinantes abaixo — em particular \det\mathbf{A}=5\neq0, então 0 não é autovalor; e o polinômio característico avaliado em -1 não zera), não há ressonância, logo a forma de tentativa padrão é uma combinação de um vetor multiplicando e^{-t} e de um polinômio vetorial de grau 1. Assim escolhemos como palpite:
Agrupando termos segundo as funções independentes e^{-t}, t e constantes (porque e^{-t}, t e 1 são funções linearmente independentes), obtemos três equações vetoriais separadas:
Resolvendo por substituição/eliminação: da primeira equação p_1=3+p_2-2p_3\]. Substituindo nas outras duas:
\[\begin{aligned} &3(3+p_2-2p_3)-4p_2+p_3=-1 \;\Rightarrow\; -p_2-5p_3=-10 \;\Rightarrow\; p_2+5p_3=10,\\[2pt] &-2(3+p_2-2p_3)+5p_2+6p_3=1 \;\Rightarrow\; 3p_2+10p_3=7. \end{aligned}\]
Subtraindo combinando, resolvemos para \(p_3:
Da primeira equação q_1=-\dfrac{96}{5}+q_2-2q_3\]. Substituindo nas outras duas e eliminando, obtemos o sistema (após multiplicações para ficar com inteiros):
\[\begin{aligned} &5q_2+25q_3=-223,\\[2pt] &15q_2+50q_3=-169. \end{aligned}\]
Subtraindo a primeira multiplicada por \(3 da segunda: 25q_3=-500\Rightarrow q_3=-20. Então 5q_2= -223-25q_3 = -223-25(-20)= -223+500=277\Rightarrow q_2=\dfrac{277}{5}. Finalmente
Da primeira equação u_1=\dfrac{-1+u_2-2u_3}{2}\]. Substituindo e eliminando obtemos o sistema:
\[\begin{aligned} &3u_2+4u_3=1,\\[2pt] &4u_2+9u_3=-3. \end{aligned}\]
Resolvendo: multiplicando a primeira por \(4 e a segunda por 3 e subtraindo dá -11u_3=13\Rightarrow u_3=-\dfrac{13}{11}. Então 3u_2=1-4u_3=1-4\left(-\dfrac{13}{11}\right)=1+\dfrac{52}{11}=\dfrac{63}{11}\Rightarrow u_2=\dfrac{21}{11}. E
A solução homogênea, como explicado, é \mathbf{x}_h(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{C} onde \mathbf{C} é um vetor constante arbitrário (determinado por condições iniciais, se houver). Portanto a solução geral é