A função
possui múltiplas raízes. Use Newton iniciando em:
(c)
.
Determine para qual raiz cada escolha converge.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton (iterações de Newton) partindo de
para a função
e determinar para qual raiz a sequência gerada converge. Informação relevante fornecida: a função tem múltiplas raízes (ou seja, há pelo menos uma raiz com multiplicidade >1). O ponto inicial é
.
Passo 2
O que é o método de Newton e a fórmula que vamos usar. O método de Newton constrói uma sequência
por
Aqui
é a derivada de
. A ideia é linearizar a função em torno de
e usar a interseção da reta tangente com o eixo
como próxima aproximação. Nosso objetivo é aplicar essa fórmula repetidas vezes a partir de
.
Passo 3
Primeiro vamos fatorar
para ver as raízes explícitas (isso ajuda a saber quais raízes existem).
Dessa fatoração tiramos as raízes:
-
(raiz simples), -
(raiz de multiplicidade , ou seja, dupla).
Essa informação confirma que existe uma raiz múltipla em
, o que influencia a velocidade de convergência do método de Newton (raízes múltiplas dão convergência mais lenta — linear em vez de quadrática).
Passo 4
Calculemos a derivada
e simplifiquemos a expressão de Newton.
Derivando usando produto:
Derivando
Aplicando a fórmula de Newton:
Como
aparece em numerador e denominador, e supondo
(caso contrário já estaríamos na raiz), podemos cancelar um fator
, obtendo a forma simplificada
Essa é a aplicação explícita do mapa de Newton para qualquer
(exceto pontos onde o denominador zera, i.e.
).
Passo 5
Agora aplicamos a iteração começando em
. Vou calcular várias iterações para ver a direção e a taxa de aproximação.
Cálculo passo a passo:
Compute
:
Compute
:
Compute
:
Compute
:
Compute
:
Compute
:
Compute
:
Observação numérica: a sequência
sai de
e vai se aproximando de
, aproximando-se cada vez mais devagar à medida que se aproxima de
. Isso sugere convergência para a raiz
.
Passo 6
Explicação teórica da velocidade de convergência perto de uma raiz múltipla. Para uma raiz de multiplicidade
o método de Newton geralmente perde a taxa quadrática e passa a convergir linearmente, com fator assintótico
. Aqui
, então o fator esperado é
.
Podemos ver isso também computando a derivada do mapa de Newton
no ponto fixo
. Vamos derivar
:
Avalia em
:
Como
,
é um ponto atrator e a convergência é linear com razão aproximadamente
. Isso explica numericamente por que os erros são reduzidos quase pela metade a cada iteração quando estamos perto de
.
Passo 7
Conclusão prática: as iterações mostradas têm
decrescendo de
para valores maiores que
e aproximando-se de
. O fato da raiz
ser dupla faz com que a convergência seja lenta (linear com fator
), mas firme: a sequência converge para
.
Resposta
Converge para
.