A função
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+xpossui múltiplas raízes. Use Newton iniciando em:
(c) x_{0}=2.
Determine para qual raiz cada escolha converge.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton (iterações de Newton) partindo de x_{0}=2 para a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x
e determinar para qual raiz a sequência gerada converge. Informação relevante fornecida: a função tem múltiplas raízes (ou seja, há pelo menos uma raiz com multiplicidade >1). O ponto inicial é x_{0}=2.

Passo 2

O que é o método de Newton e a fórmula que vamos usar. O método de Newton constrói uma sequência \{x_n\} por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f. A ideia é linearizar a função em torno de x_n e usar a interseção da reta tangente com o eixo x como próxima aproximação. Nosso objetivo é aplicar essa fórmula repetidas vezes a partir de x_0=2.

Passo 3

Primeiro vamos fatorar f(x) para ver as raízes explícitas (isso ajuda a saber quais raízes existem).
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x = x\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=x(x-1)^{2}.
Dessa fatoração tiramos as raízes:
  • x=0 (raiz simples),
  • x=1 (raiz de multiplicidade 2, ou seja, dupla).
Essa informação confirma que existe uma raiz múltipla em x=1, o que influencia a velocidade de convergência do método de Newton (raízes múltiplas dão convergência mais lenta — linear em vez de quadrática).

Passo 4

Calculemos a derivada f'(x) e simplifiquemos a expressão de Newton.
Derivando f(x)=x(x-1)^{2} usando produto:
f'(x)=(x-1)^{2}+x\cdot 2(x-1)=(x-1)\bigl((x-1)+2x\bigr)=(x-1)(3x-1).
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n(x_n-1)^{2}}{(x_n-1)(3x_n-1)}.
Como x_n-1 aparece em numerador e denominador, e supondo x_n\neq1 (caso contrário já estaríamos na raiz), podemos cancelar um fator x_n-1, obtendo a forma simplificada
\boxed{\,x_{n+1}=\frac{2x_n^{2}}{3x_n-1}\,}
Essa é a aplicação explícita do mapa de Newton para qualquer x_n (exceto pontos onde o denominador zera, i.e. 3x_n-1=0).

Passo 5

Agora aplicamos a iteração começando em x_{0}=2. Vou calcular várias iterações para ver a direção e a taxa de aproximação.
Cálculo passo a passo:
x_{0}=2.
Compute x_{1}:
x_{1}=\frac{2\cdot 2^{2}}{3\cdot 2-1}=\frac{8}{6-1}=\frac{8}{5}=1{,}6.
Compute x_{2}:
x_{2}=\frac{2\cdot (1{,}6)^{2}}{3\cdot 1{,}6-1}=\frac{2\cdot 2{,}56}{4{,}8-1}=\frac{5{,}12}{3{,}8}\approx 1{,}347368421.
Compute x_{3}:
x_{3}=\frac{2\cdot (1{,}347368421)^{2}}{3\cdot 1{,}347368421-1}\approx\frac{2\cdot 1{,}81535}{4{,}042105263-1}\approx\frac{3{,}6307}{3{,}042105263}\approx1{,}193311.
Compute x_{4}:
x_{4}=\frac{2\cdot (1{,}193311)^{2}}{3\cdot 1{,}193311-1}\approx1{,}103540.
Compute x_{5}:
x_{5}\approx1{,}054028.
Compute x_{6}:
x_{6}\approx1{,}027393.
Compute x_{7}:
x_{7}\approx1{,}013652.
Observação numérica: a sequência x_n sai de 2 e vai se aproximando de 1, aproximando-se cada vez mais devagar à medida que se aproxima de 1. Isso sugere convergência para a raiz x=1.

Passo 6

Explicação teórica da velocidade de convergência perto de uma raiz múltipla. Para uma raiz de multiplicidade m o método de Newton geralmente perde a taxa quadrática e passa a convergir linearmente, com fator assintótico \frac{m-1}{m}. Aqui m=2, então o fator esperado é \frac{1}{2}.
Podemos ver isso também computando a derivada do mapa de Newton N(x)=\dfrac{2x^{2}}{3x-1} no ponto fixo x=1. Vamos derivar N(x):
N'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^{2}}{3x-1}\right) =\frac{4x(3x-1)-2x^{2}\cdot 3}{(3x-1)^{2}} =\frac{6x^{2}-4x}{(3x-1)^{2}}.
Avalia em x=1:
N'(1)=\frac{6\cdot1^{2}-4\cdot1}{(3\cdot1-1)^{2}}=\frac{6-4}{(3-1)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Como |N'(1)|=\tfrac{1}{2}<1, x=1 é um ponto atrator e a convergência é linear com razão aproximadamente 1/2. Isso explica numericamente por que os erros são reduzidos quase pela metade a cada iteração quando estamos perto de 1.

Passo 7

Conclusão prática: as iterações mostradas têm x_n decrescendo de 2 para valores maiores que 1 e aproximando-se de 1. O fato da raiz 1 ser dupla faz com que a convergência seja lenta (linear com fator 1/2), mas firme: a sequência converge para 1.

Resposta

Converge para 1.

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