Verifique que o vetor \mathbf{X} é uma solução do sistema dado.
15. \mathbf{X}^{\prime}=\left( \begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1\end{array}\right) \mathbf{X} ;\quad \mathbf{X}=\left( \begin{array}{r}1 \\ 6 \\ -13\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o vetor \mathbf{X} é uma solução do sistema
\mathbf{X}'=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 6 & -1 & 0 \\[4pt] -1 & -2 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X},
onde foi dado o vetor constante
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 6 \\[4pt] -13\end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 6 & -1 & 0 \\[4pt] -1 & -2 & -1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 6 \\[4pt] -13\end{pmatrix}.
A pergunta é: ao substituir este \mathbf{X} na equação \mathbf{X}'=A\mathbf{X}, a igualdade é satisfeita?]

Passo 2

Primeiro lembrete básico e importante: se \mathbf{X} é um vetor com entradas constantes (não depende de t), então a sua derivada em relação a t é o vetor nulo. Em palavras mais simples: derivada de constante é zero aplicada a cada componente. Assim,
\mathbf{X}'=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso porque cada componente de \mathbf{X} ( 1, 6, -13 ) tem derivada 0.]

Passo 3

Agora precisamos calcular A\mathbf{X}. Vou explicar rapidamente como fazer a multiplicação matriz-vetor: cada entrada do produto é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{X}. Ou seja, se A tem linha i igual a (a_{i1},a_{i2},a_{i3}) e \mathbf{X}=(x_1,x_2,x_3)^T, então a i-ésima entrada de A\mathbf{X} é
a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + a_{i3}x_3.
Vou aplicar isso linha a linha.

Passo 4

Calculo da primeira entrada de A\mathbf{X}: uso a primeira linha de A, que é (1,2,1), e o vetor \mathbf{X}, cujas entradas são 1,6,-13. Então
\text{(1ª entrada)} = 1\cdot 1 + 2\cdot 6 + 1\cdot(-13).ª
Faço as operações passo a passo:
1\cdot 1 = 1,\qquad 2\cdot 6 = 12,\qquad 1\cdot(-13) = -13.
Somando:
1 + 12 + (-13) = 13 - 13 = 0.
Logo a primeira entrada do produto é 0.

Passo 5

Calculo da segunda entrada de A\mathbf{X}: uso a segunda linha de A, que é (6,-1,0). Então
\text{(2ª entrada)} = 6\cdot 1 + (-1)\cdot 6 + 0\cdot(-13).ª
Passo a passo:
6\cdot 1 = 6,\qquad (-1)\cdot 6 = -6,\qquad 0\cdot(-13) = 0.
Somando:
6 + (-6) + 0 = 0.
Portanto a segunda entrada do produto é 0.

Passo 6

Calculo da terceira entrada de A\mathbf{X}: uso a terceira linha de A, que é (-1,-2,-1). Então
\text{(3ª entrada)} = (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot 6 + (-1)\cdot(-13).ª
Passo a passo:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad (-2)\cdot 6 = -12,\qquad (-1)\cdot(-13) = 13.
Somando:
-1 + (-12) + 13 = -13 + 13 = 0.
Assim a terceira entrada do produto também é 0.

Passo 7

Concluímos que
A\mathbf{X}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Combinando com o resultado do Passo 2 ( \mathbf{X}'=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} ), obtemos
\mathbf{X}' = A\mathbf{X}.
Isto mostra que o vetor constante dado é uma solução da equação diferencial matricial — na linguagem de sistemas dinâmicos, \mathbf{X} é um ponto de equilíbrio (um vetor no núcleo de A).]

Resposta

Sim. \mathbf{X}'=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1&2&1\\[4pt]6&-1&0\\[4pt]-1&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\\[4pt]-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, portanto \mathbf{X} é solução.]

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