A pergunta é: ao substituir este \mathbf{X} na equação \mathbf{X}'=A\mathbf{X}, a igualdade é satisfeita?]
Passo 2
Primeiro lembrete básico e importante: se \mathbf{X} é um vetor com entradas constantes (não depende de t), então a sua derivada em relação a t é o vetor nulo. Em palavras mais simples: derivada de constante é zero aplicada a cada componente. Assim,
Isso porque cada componente de \mathbf{X} ( 1, 6, -13 ) tem derivada 0.]
Passo 3
Agora precisamos calcular A\mathbf{X}. Vou explicar rapidamente como fazer a multiplicação matriz-vetor: cada entrada do produto é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{X}. Ou seja, se A tem linha i igual a (a_{i1},a_{i2},a_{i3}) e \mathbf{X}=(x_1,x_2,x_3)^T, então a i-ésima entrada de A\mathbf{X} é
a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + a_{i3}x_3.
Vou aplicar isso linha a linha.
Passo 4
Calculo da primeira entrada de A\mathbf{X}: uso a primeira linha de A, que é (1,2,1), e o vetor \mathbf{X}, cujas entradas são 1,6,-13. Então
Combinando com o resultado do Passo 2 ( \mathbf{X}'=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} ), obtemos
\mathbf{X}' = A\mathbf{X}.
Isto mostra que o vetor constante dado é uma solução da equação diferencial matricial — na linguagem de sistemas dinâmicos, \mathbf{X} é um ponto de equilíbrio (um vetor no núcleo de A).]
Resposta
Sim. \mathbf{X}'=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1&2&1\\[4pt]6&-1&0\\[4pt]-1&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\\[4pt]-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, portanto \mathbf{X} é solução.]