Pelo teste de alinhamento, escolha uma das funções abaixo que melhor se ajusta aos dados tabelados:
\begin{aligned} y_{I} & =a e^{b x} \\\ y_{I I} & =\frac{1}{a+b x} \\\ y_{I I I} & =\frac{x}{a+b x} \end{aligned}
Caso necessário, plote os gráficos em um programa (como excel, por exemplo).
x 2 5 8 10 14 17 27 31 35 44
y 94.8 98.7 81.3 74.9 68.7 64.0 49.3 44.0 39.1 31.6
Ajuste, por fim, os dados à função escolhida pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, pelo “teste de alinhamento”, qual das três funções abaixo se ajusta melhor aos dados dados e, em seguida, ajuste os dados à função escolhida pelo método dos mínimos quadrados:
\begin{aligned} y_{I} & =a e^{b x},\\[4pt] y_{I I} & =\frac{1}{a+b x},\\[4pt] y_{I I I} & =\frac{x}{a+b x}. \end{aligned}
Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccccc} x & 2 & 5 & 8 & 10 & 14 & 17 & 27 & 31 & 35 & 44 \\\ \hline y & 94{,}8 & 98{,}7 & 81{,}3 & 74{,}9 & 68{,}7 & 64{,}0 & 49{,}3 & 44{,}0 & 39{,}1 & 31{,}6 \end{array}
O que tenho que entregar: (1) indicar qual função é a mais apropriada pelo teste de alinhamento; (2) fornecer os parâmetros ajustados (valores de a e b) pelo método dos mínimos quadrados para a função escolhida.]

Passo 2

Explicação do “teste de alinhamento” e as transformações lineares usadas (essa é a parte didática que você pediu — como fazer na prova):
  • A ideia do teste de alinhamento é transformar cada modelo para uma forma linear e verificar qual transformação mostra um gráfico mais próximo de uma reta. A vantagem é que, para um modelo linearizado, podemos aplicar regressão linear simples (mínimos quadrados) para estimar os parâmetros.
  • Linearizações usadas:
    • Para y_{I}=a e^{b x}: tomo log natural em ambos os lados e obtenho \ln y = \ln a + b x,que é uma reta em x com coeficiente angular b e intercepto \ln a.
    • Para y_{I I}=\dfrac{1}{a+b x}: tomo o recíproco e obtenho \frac{1}{y} = a + b x,que é uma reta em x com intercepto a e coeficiente angular b.
    • Para y_{I I I}=\dfrac{x}{a+b x}: tomo o recíproco e reorganizo: \frac{1}{y}=\frac{a+b x}{x}=b + a\cdot\frac{1}{x},que é uma reta em u=\dfrac{1}{x} com intercepto b e coeficiente angular a.
  • Em cada caso aplico regressão linear simples na forma Y = \alpha + \beta X (onde X e Y são as variáveis transformadas) e calculo a soma dos quadrados dos resíduos no espaço transformado. O modelo cujo ajuste linearizado apresenta o menor erro (resíduos bem pequenos) é o mais alinhado e, portanto, o preferível.

Passo 3

Transformação e ajuste do modelo y_{I}=a e^{b x} (linearizo com \ln y):
  • Calculei \ln y para cada ponto (valores aproximados): \begin{array}{c|cccccccccc} x & 2 & 5 & 8 & 10 & 14 & 17 & 27 & 31 & 35 & 44\\hline \ln y & 4{,}5518 & 4{,}5921 & 4{,}3985 & 4{,}3159 & 4{,}2296 & 4{,}1589 & 3{,}8976 & 3{,}7842 & 3{,}6660 & 3{,}4539 \end{array}
  • Usei as fórmulas da regressão linear simples. Seja n=10, \beta = \frac{n\sum x\ln y-\sum x\sum \ln y}{n\sum x^2-(\sum x)^2},\qquad \alpha = \overline{\ln y}-\beta\overline{x}.Com os somatórios calculados: \sum x =193,\quad \sum x^2=5529,\quad \sum \ln y\approx 41{,}0485,\quad \sum x\ln y\approx 743{,}1538.Então obtive \beta \approx -0{,}027203,\qquad \alpha\approx 4{,}62985.Assim \ln a=\alpha e b=\beta, logo a\approx e^{4{,}62985}\approx 102{,}5,\qquad b\approx -0{,}02720.
  • Para avaliar o ajuste linearizado calculei a soma dos quadrados dos resíduos no espaço \ln y: \text{SSE}_{\ln y}=\sum (\ln y_i-(\alpha+\beta x_i))^2 \approx 0{,}01320.(valor pequeno, mas depende da escala de \ln y.)

Passo 4

Transformação e ajuste do modelo y_{I I}=\dfrac{1}{a+b x} (linearizo com 1/y):
  • Calculei v=1/y para cada ponto (valores aproximados): \begin{array}{c|cccccccccc} x & 2 & 5 & 8 & 10 & 14 & 17 & 27 & 31 & 35 & 44 \\hline 1/y & 0{,}0105485 & 0{,}010132 & 0{,}012299 & 0{,}013352 & 0{,}014552 & 0{,}015625 & 0{,}020285 & 0{,}0227273 & 0{,}025576 & 0{,}0316456 \end{array}
  • Faço regressão linear simples em v versus x (modelo v=a+b x). Usei as fórmulas: b = \frac{n\sum x v - \sum x \sum v}{n\sum x^2-(\sum x)^2},\qquad a = \overline{v}-b\overline{x}.Com os somatórios: \sum v\approx 0{,}1767424,\quad \sum x v\approx 4{,}312852.Obtenho b\approx 0{,}0004999,\qquad a\approx 0{,}0080263.Portanto o ajuste linearizado é \frac{1}{y}\approx 0{,}0080263 + 0{,}0004999\,x,e no espaço original: y \approx \frac{1}{0{,}0080263 + 0{,}0004999\,x}.
  • Calculei a soma dos quadrados dos resíduos no espaço 1/y: \text{SSE}_{1/y}=\sum \bigl(1/y_i-(a+b x_i)\bigr)^2 \approx 0{,}00000849,que é muito pequena (indicando um excelente ajuste linearizado).

Passo 5

Transformação e ajuste do modelo y_{I I I}=\dfrac{x}{a+b x} (linearizo com 1/y e 1/x):
  • As transformações são u=1/x e v=1/y. Calculei: \begin{array}{c|cccccccccc} x & 2 & 5 & 8 & 10 & 14 & 17 & 27 & 31 & 35 & 44 \\hline u=1/x & 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}125 & 0{,}1 & 0{,}0714286 & 0{,}0588235 & 0{,}037037 & 0{,}0322581 & 0{,}0285714 & 0{,}0227273 \end{array}e v=1/y já calculado no passo anterior.
  • Regressão linear simples em v versus u: a_{\text{reg}} = \frac{n\sum u v - \sum u \sum v}{n\sum u^2-(\sum u)^2},\qquad b_{\text{reg}}=\overline{v}-a_{\text{reg}}\overline{u}.(Aqui a_{\text{reg}} corresponde ao parâmetro a do modelo original e b_{\text{reg}} corresponde ao b do modelo original, pois 1/y=b + a(1/x).)
  • Com os somatórios: \sum u\approx 1{,}1758459,\quad \sum u^2\approx 0{,}327933,\quad \sum u v\approx 0{,}0150656,obtive a_{\text{reg}}\approx -0{,}03013,\qquad b_{\text{reg}}\approx 0{,}021217.Logo o modelo ajustado é \frac{1}{y}\approx 0{,}021217 -0{,}03013\cdot\frac{1}{x},ou, no original, y \approx \frac{x}{-0{,}03013 + 0{,}021217\,x}.
  • A soma dos quadrados dos resíduos no espaço 1/y para este ajuste é \text{SSE}_{1/y}\approx 0{,}00028024,maior que a do modelo II (o que indica pior alinhamento).

Passo 6

Comparação dos ajustes (resumo do “teste de alinhamento”):
  • Modelo I (expo): \text{SSE}_{\ln y}\approx 0{,}01320 no espaço \ln y.
  • Modelo II (recíproco linear em x): \text{SSE}_{1/y}\approx 0{,}00000849 no espaço 1/y.
  • Modelo III (recíproco linear em 1/x): \text{SSE}_{1/y}\approx 0{,}00028024 no espaço 1/y.
    O menor erro no espaço transformado é do modelo II. Portanto, pelo teste de alinhamento, a melhor escolha é
y_{I I}=\frac{1}{a+b x}.

Passo 7

Ajuste final por mínimos quadrados (já calculado no Passo 4, reescrevendo e interpretando bem os parâmetros):
  • Para o modelo escolhido y=\dfrac{1}{a+b x} estimei (valores arredondados com 4–6 dígitos significativos) a \approx 0{,}0080263,\qquad b \approx 0{,}0004999.
  • Assim a função ajustada é y \approx \frac{1}{0{,}0080263 + 0{,}0004999\,x}.
Essa é a expressão que você pode usar na prova; os coeficientes vieram da regressão linear de 1/y contra x pelos mínimos quadrados.

Resposta

y=\dfrac{1}{0{,}0080263 + 0{,}0004999\,x}

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