1. x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t, \quad w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w(0, t)=0 se t \geqq 0

Passo 1

O enunciado fornece a equação em derivadas parciais e as condições iniciais:
x\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,
com
w(x,0)=0\quad\text{para }x\geq0,
e
w(0,t)=0\quad\text{para }t\geq0.
O que é pedido: encontrar a solução w(x,t) para x\ge 0,\;t\ge 0 que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos usar o método das características (vou explicar devagarinho). A ideia é seguir curvas no plano (x,t) chamadas características, ao longo das quais a derivada total de w satisfaz uma equação ordinária simples. Para uma PDE do tipo
a(x,t)\frac{\partial w}{\partial x}+b(x,t)\frac{\partial w}{\partial t}=c(x,t),
as equações características são
\frac{dx}{ds}=a(x,t),\qquad \frac{dt}{ds}=b(x,t),\qquad \frac{dw}{ds}=c(x,t),
onde s é um parâmetro ao longo da característica. No nosso caso a(x,t)=x, b(x,t)=1 e c(x,t)=x t. Portanto escrevemos as ODEs características:
\frac{dx}{ds}=x,\qquad \frac{dt}{ds}=1,\qquad \frac{dw}{ds}=x t.
Aqui, \frac{dx}{ds} diz como a coordenada x muda quando eu me movo ao longo da característica; \frac{dt}{ds} diz como t muda; e \frac{dw}{ds} é a variação de w junto dessa curva.

Passo 3

Primeiro resolvo as duas equações mais simples. Da segunda,
\frac{dt}{ds}=1\implies t(s)=s+C_1.
Posso escolher o parâmetro de forma conveniente: normalmente tomo s tal que em um ponto inicial s=0, então t(0)=t_0 e t(s)=s+t_0. Da primeira equação,
\frac{dx}{ds}=x,
que é uma equação exponencial. A solução geral é
x(s)=C_2 e^{s}.
Se eu tomar uma característica que nasce no eixo t=0 no ponto (\xi,0) (com \xi\ge0), então em s=0 tenho x(0)=\xi e t(0)=0. Assim para essa característica:
t(s)=s,\qquad x(s)=\xi e^{s}.

Passo 4

Agora uso a terceira equação das características para obter w ao longo dessa característica. Temos
\frac{dw}{ds}=x(s)\,t(s)=\big(\xi e^{s}\big)\cdot s=\xi\,s e^{s}.
Integrando s de 0 até s (lembre que em s=0 a condição inicial impõe w(0)=0 porque w(\xi,0)=0), obtemos
w(s)=\int_{0}^{s}\xi\,\sigma e^{\sigma}\,d\sigma,
onde usei \sigma como variável de integração para não confundir com o limite s. Agora calculo essa integral por partes (ou usando a primitiva conhecida):
\int \sigma e^{\sigma}\,d\sigma=\sigma e^{\sigma}-\int e^{\sigma}\,d\sigma=\sigma e^{\sigma}-e^{\sigma}+C=(\sigma-1)e^{\sigma}+C.
Aplicando entre 0 e s:
\int_{0}^{s}\sigma e^{\sigma}\,d\sigma=(s-1)e^{s}-(-1)e^{0}=(s-1)e^{s}+1.
Multiplicando por \xi,
w(s)=\xi\big((s-1)e^{s}+1\big).

Passo 5

Agora volto às variáveis originais (x,t). Para a característica que partiu de (\xi,0) nós vimos t(s)=s e x(s)=\xi e^{s}. Eliminando s e \xi: como s=t e \xi = x e^{-s}=x e^{-t}. Substituindo em w(s) obtemos a solução ao chegar no ponto (x,t):
w(x,t)=\xi\big((t-1)e^{t}+1\big)=x e^{-t}\big((t-1)e^{t}+1\big).
Faço a multiplicação para simplificar:
w(x,t)=x\big(t-1+e^{-t}\big).

Passo 6

Preciso verificar consistência com a outra condição inicial w(0,t)=0. Note que a característica que parte do eixo t no ponto (0,\tau) tem condição inicial x(0)=0; pela ODE \frac{dx}{ds}=x essa característica permanece com x(s)\equiv0, logo só chega em pontos com x=0 e a condição w(0,t)=0 é satisfeita automaticamente pela fórmula acima porque há um fator x multiplicando tudo. Também verifico rapidamente que a fórmula satisfaz a PDE: calculando
\frac{\partial w}{\partial x}=t-1+e^{-t},\qquad \frac{\partial w}{\partial t}=x\big(1-e^{-t}\big),
então
x\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x(t-1+e^{-t})+x(1-e^{-t})=x t,
ou seja, a equação é satisfeita. As condições iniciais também: para t=0 temos w(x,0)=x(0-1+1)=0; e para x=0 obtemos w(0,t)=0.

Resposta

w(x,t)=x\big(t-1+e^{-t}\big).

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