-
se
,
se
Passo 1
O enunciado fornece a equação em derivadas parciais e as condições iniciais:
com
e
O que é pedido: encontrar a solução
para
que satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos usar o método das características (vou explicar devagarinho). A ideia é seguir curvas no plano
chamadas características, ao longo das quais a derivada total de
satisfaz uma equação ordinária simples. Para uma PDE do tipo
as equações características são
onde
é um parâmetro ao longo da característica. No nosso caso
,
e
. Portanto escrevemos as ODEs características:
Aqui,
diz como a coordenada
muda quando eu me movo ao longo da característica;
diz como
muda; e
é a variação de
junto dessa curva.
Passo 3
Primeiro resolvo as duas equações mais simples. Da segunda,
Posso escolher o parâmetro de forma conveniente: normalmente tomo
tal que em um ponto inicial
, então
e
. Da primeira equação,
que é uma equação exponencial. A solução geral é
Se eu tomar uma característica que nasce no eixo
no ponto
(com
), então em
tenho
e
. Assim para essa característica:
Passo 4
Agora uso a terceira equação das características para obter
ao longo dessa característica. Temos
Integrando
de
até
(lembre que em
a condição inicial impõe
porque
), obtemos
onde usei
como variável de integração para não confundir com o limite
. Agora calculo essa integral por partes (ou usando a primitiva conhecida):
Aplicando entre
e
:
Multiplicando por
,
Passo 5
Agora volto às variáveis originais
. Para a característica que partiu de
nós vimos
e
. Eliminando
e
: como
e
. Substituindo em
obtemos a solução ao chegar no ponto
:
Faço a multiplicação para simplificar:
Passo 6
Preciso verificar consistência com a outra condição inicial
. Note que a característica que parte do eixo
no ponto
tem condição inicial
; pela ODE
essa característica permanece com
, logo só chega em pontos com
e a condição
é satisfeita automaticamente pela fórmula acima porque há um fator
multiplicando tudo. Também verifico rapidamente que a fórmula satisfaz a PDE: calculando
então
ou seja, a equação é satisfeita. As condições iniciais também: para
temos
; e para
obtemos
.