( 2 \frac{1}{2} pontos) Em \mathbb{R}^{3} considere o campo F(x, y, z)=\left(e^{x} \sin y, a e^{x} \cos y, 2 z\right), onde a \in \mathbb{R} é uma constante.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de F.
(b) Determine o valor de a para que F seja conservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em \mathbb R^3,
F(x,y,z) = \bigl(e^x\sin y,\;a\,e^x\cos y,\;2z\bigr),
e pede (a) o rotacional \nabla\times F e o divergente \mathrm{div}\,F, e (b) o valor de a para que F seja conservativo.
Para isso vamos usar as definições em coordenadas cartesianas: \mathrm{div}\,F = \partial_xP + \partial_yQ + \partial_zR e \nabla\times F =(\partial_yR-\partial_zQ,\;\partial_zP-\partial_xR,\;\partial_xQ-\partial_yP),
onde P=e^x\sin y, Q=a\,e^x\cos y e R=2z.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para o divergente:
\partial_xP = e^x\sin y,\quad \partial_yQ = a\,e^x(-\sin y) = -a\,e^x\sin y,\quad \partial_zR = 2.
Logo,
\mathrm{div}\,F = e^x\sin y - a\,e^x\sin y + 2 = (1 - a)\,e^x\sin y + 2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para o rotacional:
\partial_yR = 0,\quad \partial_zQ = 0,\quad \partial_zP = 0,\quad \partial_xR = 0,\quad \partial_xQ = a\,e^x\cos y,\quad \partial_yP = e^x\cos y.
Pela definição,
\nabla\times F = \bigl(0-0,\;0-0,\;a\,e^x\cos y - e^x\cos y\bigr) = \bigl(0,0,(a-1)e^x\cos y\bigr).

Passo 4

Um campo é conservativo em \mathbb R^3 (domínio simplesmente conexo) se e só se \nabla\times F=(0,0,0). Aqui basta anular a componente k:
(a-1)e^x\cos y = 0\quad\forall\,x,y \;\Longrightarrow\;a-1=0 \;\Longrightarrow\;a=1.

Resposta

(a) \nabla\times F = (0,0,(a-1)e^x\cos y) e \mathrm{div}\,F = (1 - a)e^x\sin y + 2.
(b) a = 1.

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