(
pontos) Em
considere o campo
, onde
é uma constante.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de
.
(b) Determine o valor de
para que
seja conservativo.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de
(b) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial em
,
e pede (a) o rotacional
e o divergente
, e (b) o valor de
para que
seja conservativo.
Para isso vamos usar as definições em coordenadas cartesianas: e
,
onde ,
e
.
Para isso vamos usar as definições em coordenadas cartesianas:
onde
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para o divergente:
Logo,
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para o rotacional:
Pela definição,
Passo 4
Um campo é conservativo em
(domínio simplesmente conexo) se e só se
. Aqui basta anular a componente
:
Resposta
(a)
e
.
(b) .
(b)