(3 pontos) Um fabricante de batatas fritas prensadas corta-as de maneira que elas caibam, justas, em um cilindro circular com 3 cm de raio. Se o fabricante prensasse as batatinhas em forma plana, perpendicular ao eixo do cilindro, obteria fatias com
de área. Entretanto, o fabricante prensa as batatinhas com a forma da parte do parabolóide hiperbólico
que fica dentro do cilindro
.
(a) Construa uma parametrização para esta superfície.
(b) Calcule a área da batatinha.
(a) Construa uma parametrização para esta superfície.
(b) Calcule a área da batatinha.
Passo 1
O enunciado diz que a batata é modelada pela parte do parabolóide hiperbólico
dentro do cilindro
Pede (a) uma parametrização dessa superfície e (b) a área correspondente. Vamos tratar o parabolóide como gráfico
e usar a fórmula da área de superfície
onde
é o disco
.
Passo 2
Usamos coordenadas polares no disco
:
Como
, a parametrização fica
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
portanto
O elemento de área no plano é
.
Passo 4
O integral da área em polares é
Para a integral em
fazemos
,
, obtendo
Passo 5
Multiplicando por
e simplificando dá
Resposta
(a)
, com
,
.
(b) .
(b)