(3 pontos) Um fabricante de batatas fritas prensadas corta-as de maneira que elas caibam, justas, em um cilindro circular com 3 cm de raio. Se o fabricante prensasse as batatinhas em forma plana, perpendicular ao eixo do cilindro, obteria fatias com 9 \pi \approx 28,3 \mathrm{~cm}^{2} de área. Entretanto, o fabricante prensa as batatinhas com a forma da parte do parabolóide hiperbólico x^{2}-y^{2}-10 z=0 que fica dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.
(a) Construa uma parametrização para esta superfície.
(b) Calcule a área da batatinha.

Passo 1

O enunciado diz que a batata é modelada pela parte do parabolóide hiperbólico
x^{2}-y^{2}-10z=0
dentro do cilindro
x^{2}+y^{2}=9.
Pede (a) uma parametrização dessa superfície e (b) a área correspondente. Vamos tratar o parabolóide como gráfico
z=f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{10}
e usar a fórmula da área de superfície
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le9.

Passo 2

Usamos coordenadas polares no disco D:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le3,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Como z=(x^{2}-y^{2})/10, a parametrização fica
\mathbf{r}(r,\theta)=\Bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\frac{r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)}{10}\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z:
z_x=\frac{x}{5},\quad z_y=-\frac{y}{5},
portanto
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} =\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{25}} =\sqrt{1+\frac{r^2}{25}}.
O elemento de área no plano é dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

O integral da área em polares é
A=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\sqrt{1+\frac{r^2}{25}}\;r\,dr\,d\theta.
Para a integral em r fazemos u=1+r^2/25, du=(2r/25)\,dr, obtendo
\int_{0}^{3}r\sqrt{1+\frac{r^2}{25}}\,dr =\frac{25}{2}\int_{1}^{34/25}u^{1/2}du =\frac{25}{3}\Bigl[\Bigl(\tfrac{34}{25}\Bigr)^{3/2}-1\Bigr].

Passo 5

Multiplicando por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi e simplificando dá
A =2\pi\cdot\frac{25}{3}\Bigl[\Bigl(\tfrac{34}{25}\Bigr)^{3/2}-1\Bigr] =\frac{2\pi}{3}\Bigl(\frac{34\sqrt{34}}{5}-25\Bigr) =\frac{2\pi(34\sqrt{34}-125)}{15} \approx30{,}7\text{ cm}^2.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)/10\bigr), com 0\le r\le3, 0\le\theta\le2\pi.
(b) \displaystyle A=\frac{2\pi(34\sqrt{34}-125)}{15}\approx30{,}7\text{ cm}^2.

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