QUESTÃO - Determine a solução geral para a seguinte equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes pelo Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes
Pela teoria, primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada e depois determinamos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A homogênea é
O polinômio característico é
cuja raiz é
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para o segundo passo do método dos coeficientes a determinar, notamos que o termo não homogêneo é
, que coincide com a forma de
. Há ressonância, então multiplicamos por
o palpite usual. Proponho
Passo 4
Defina
Então
Substituindo em
dá
Como
satisfaz a homogênea,
. Logo o LHS reduz a
Passo 5
Calculemos
Então
Isso deve igualar
, i.e.
Resolve-se
Logo
Passo 6
A solução geral é