4{ }^{\mathrm{a}} QUESTÃO - Determine a solução geral para a seguinte equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes pelo Método dos Coeficientes a Determinar:
\ddot{x}-4 \dot{x}+5 x=e^{2 t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes
\ddot{x}-4\dot{x}+5x=e^{2t}\cos t
Pela teoria, primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada e depois determinamos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A homogênea é
\ddot{x}-4\dot{x}+5x=0.
O polinômio característico é
r^2 -4r +5=0,
cuja raiz é
r = \frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=2\pm i.
Logo, a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).

Passo 3

Para o segundo passo do método dos coeficientes a determinar, notamos que o termo não homogêneo é e^{2t}\cos t, que coincide com a forma de x_h. Há ressonância, então multiplicamos por t o palpite usual. Proponho
x_p(t)=t\,e^{2t}\big(A\cos t + B\sin t\big).

Passo 4

Defina
y(t)=e^{2t}(A\cos t + B\sin t).
Então
x_p = t\,y,\quad x_p' = y + t\,y',\quad x_p'' = 2y' + t\,y''.
Substituindo em \ddot x -4\dot x+5x
x_p'' -4x_p' +5x_p = \bigl[2y' + t\,y''\bigr] -4\bigl[y + t\,y'\bigr] +5\,t\,y = t\bigl(y'' -4y' +5y\bigr) + \bigl(2y' -4y\bigr).
Como y satisfaz a homogênea, y''-4y'+5y=0. Logo o LHS reduz a
2y' -4y.

Passo 5

Calculemos
y=e^{2t}(A\cos t + B\sin t),
y'=e^{2t}\bigl((2A+B)\cos t + (2B-A)\sin t\bigr).
Então
2y' -4y =e^{2t}\Bigl([2(2A+B)-4A]\cos t + [2(2B-A)-4B]\sin t\Bigr).
Isso deve igualar e^{2t}\cos t, i.e.
2(2A+B)-4A =1, \quad 2(2B-A)-4B =0.
Resolve-se
2B=1\implies B=\tfrac12, \quad -2A=0\implies A=0.
Logo
x_p(t)=t\,e^{2t}\bigl(0\cdot\cos t + \tfrac12\sin t\bigr) =\frac t2\,e^{2t}\sin t.

Passo 6

A solução geral é
x(t)=x_h(t)+x_p(t) =e^{2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) +\frac t2\,e^{2t}\sin t.

Resposta

x(t)=e^{2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) +\frac t2\,e^{2t}\sin t.

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