\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (3,0 pontos): Resolva as Equações Diferenciais ordinárias
\left(y^{2}-x y^{2}\right) y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\bigl(y^{2} - x\,y^{2}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 2,
que é uma equação de variáveis separáveis. Para resolvê-la, vamos isolar \frac{dy}{dx} e reunir termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Escrevendo de forma explícita a derivada, temos
y^{2}(1 - x)\,\frac{dy}{dx} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y^{2}(1 - x)}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
y^{2}\,dy = \frac{2}{1 - x}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int \frac{2}{1 - x}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
No lado direito, usando a substituição u=1-x (logo du=-dx),
\int \frac{2}{1 - x}\,dx = -2\int \frac{1}{u}\,du = -2\ln\bigl|u\bigr| + C_{1} = -2\ln\bigl|1 - x\bigr| + C_{1}.

Passo 5

Igualando as integrais e agrupando a constante, obtemos
\frac{y^{3}}{3} = -2\ln\bigl|1 - x\bigr| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = -6\ln\bigl|1 - x\bigr| + C,
onde C = 3C_{1} é a constante geral de integração. Finalmente, isolamos y:
y(x) = \Bigl(C - 6\ln\bigl|1 - x\bigr|\Bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \bigl(C - 6\ln\lvert1 - x\rvert\bigr)^{\tfrac{1}{3}},
onde C é a constante de integração.

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