(5^{\text {a }}) QUESTÃO - Utilize o Método da Variação de Parâmetros para resolver a seguinte E.D.O.:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{2 x} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\,\ln x
usando o método da variação de parâmetros. Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, construir uma solução particular via variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-2)^2 = 0
Logo a raiz dupla é r=2. Assim a solução geral da homogênea é
y_c = C_1 e^{2x} + C_2\,x\,e^{2x}.

Passo 3

Aplicamos variação de parâmetros tomando
y_1 = e^{2x}, \qquad y_2 = x\,e^{2x}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{2x} & x\,e^{2x} \\[3pt] 2\,e^{2x} & (1+2x)e^{2x} \end{vmatrix} = e^{4x}\bigl[(1+2x)-2x\bigr] = e^{4x}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros para u_1' e u_2' são
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W}, \qquad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
onde f(x)=e^{2x}\ln x. Substituindo,
u_1' = -\frac{e^{2x}\ln x\;\bigl(x\,e^{2x}\bigr)}{e^{4x}} = -x\,\ln x, \qquad u_2' = \frac{e^{2x}\ln x\;\bigl(e^{2x}\bigr)}{e^{4x}} = \ln x.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = \int -x\,\ln x\,dx = -\Bigl[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\Bigr] = -\frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4},
u_2 = \int \ln x\,dx = x\,\ln x - x.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{x^2}{2}\ln x + \tfrac{x^2}{4}\Bigr)e^{2x} + \bigl(x\,\ln x - x\bigr)\,x\,e^{2x}.
Reunindo termos em fator comum e^{2x}:
y_p = e^{2x}\Bigl[ -\tfrac{x^2}{2}\ln x + \tfrac{x^2}{4} + x^2\ln x - x^2 \Bigr] = e^{2x}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{3x^2}{4}\Bigr].

Resposta

A solução geral da E.D.O. é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2\,x\,e^{2x} + e^{2x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{3x^2}{4}\Bigr).

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