l. x y+2 x+3 x^{2}=4
(a) Find y^{\prime} by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y^{\prime} in terms of x.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).

Passo 1

O enunciado dá a equação
x\,y + 2x + 3x^{2} = 4
e pede três coisas:
  1. (a) Encontrar y' por diferenciação implícita.
  2. (b) Resolver explicitamente para y (ou seja, escrever y em função de x) e então diferenciar para obter y' em termos de x.
  3. (c) Verificar que as duas expressões para y' são compatíveis, substituindo a expressão explícita de y na expressão obtida em (a).
Informações relevantes fornecidas: a relação entre x e y dada acima. Observe que, se for necessário dividir por x, devemos checar se x=0 é possível na equação (iremos fazer isso quando for preciso).

Passo 2

Vamos fazer (a): diferenciação implícita. Primeiro uma breve lembrança didática do que vamos usar.
Produto de duas funções: se temos duas funções de x, u(x) e v(x), a regra do produto diz
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Aqui, na expressão x\,y, pense em u(x)=x e v(x)=y(x) (lembrando que y é considerada função de x, então v'(x)=y'). Também usaremos a regra básica \frac{d}{dx}[ax]=a e \frac{d}{dx}[x^{2}]=2x.
Agora diferenciamos termo a termo a equação original em relação a x:
derivada de \;x\,y\; é, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}[x\,y]=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
derivada de \;2x\; é 2.
derivada de \;3x^{2}\; é 6x.
derivada de 4 é 0.
Portanto obtemos a equação
y + x y' + 2 + 6x = 0.
Isolando y':
x y' = -y - 2 - 6x
e, dividindo por x (vamos comentar sobre x=0 logo abaixo),
y' = -\frac{y + 2 + 6x}{x}.
Observação sobre x=0: se x=0 na equação original, ela fica 0\cdot y + 0 + 0 = 4, ou seja 0=4, impossível. Logo x=0 não pertence à curva dada, então dividir por x é válido em todos os pontos da curva. Assim a expressão acima para y' é aplicável para todos os x da curva.

Passo 3

Agora (b): resolver explicitamente para y e derivar.
Partimos de
x\,y + 2x + 3x^{2} = 4.
Isolando x y,
x y = 4 - 2x - 3x^{2}.
Como vimos em (a), x=0 não é possível, então podemos dividir por x:
y = \frac{4 - 2x - 3x^{2}}{x}.
Separando termos (mais conveniente para derivar):
y = \frac{4}{x} - 2 - 3x.
Agora derivamos termo a termo. Lembrete: \frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{d}{dx}[4x^{-1}]=-4x^{-2}=-\frac{4}{x^{2}}, \frac{d}{dx}[-2]=0, \frac{d}{dx}[-3x]=-3. Assim
y' = -\frac{4}{x^{2}} - 3.

Passo 4

Agora (c): verificar substituindo a expressão de y obtida em (b) na fórmula de y' obtida em (a).
A fórmula de (a) é
y' = -\frac{y + 2 + 6x}{x}.
Substituímos y = \dfrac{4}{x} - 2 - 3x (obtido em (b)) no numerador:
y + 2 + 6x = \left(\frac{4}{x} - 2 - 3x\right) + 2 + 6x.
Os termos -2 e +2 se cancelam, e -3x + 6x = 3x, então
y + 2 + 6x = \frac{4}{x} + 3x.
Colocando isto sobre x com o sinal negativo:
y' = -\frac{\frac{4}{x} + 3x}{x} = -\left(\frac{4}{x^{2}} + 3\right) = -\frac{4}{x^{2}} - 3.
Isto coincide exatamente com o resultado obtido em (b). Portanto as duas formas são consistentes.

Passo 5

Resumo e incentivo: concluímos a derivada de forma implícita e explícita e verificámos que dão a mesma expressão (no domínio válido x\neq0). Se você estiver nervoso, lembra que a técnica padrão é: (i) na implícita usar a regra do produto e tratar y como função y(x) (logo aparece y'); (ii) se puder isolar y, derive diretamente e compare — sempre cheque se alguma divisão (como por x) é permitida pela equação original. Você está indo bem — repita esse tipo de exercício umas duas vezes e vai ficar mais automático!

Resposta

(a) y' = -\dfrac{y + 2 + 6x}{x}
(b) y = \dfrac{4}{x} - 2 - 3x,\quad y' = -\dfrac{4}{x^{2}} - 3
(c) Substituindo y em (a) obtém-se y' = -\dfrac{4}{x^{2}} - 3, que coincide com (b)

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