l.
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(a) Find
(b) Solve the equation explicitly for
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas:
- (a) Encontrar
por diferenciação implícita. - (b) Resolver explicitamente para
(ou seja, escrever em função de ) e então diferenciar para obter em termos de . - (c) Verificar que as duas expressões para
são compatíveis, substituindo a expressão explícita de na expressão obtida em (a).
Informações relevantes fornecidas: a relação entre
e
dada acima. Observe que, se for necessário dividir por
, devemos checar se
é possível na equação (iremos fazer isso quando for preciso).
Passo 2
Vamos fazer (a): diferenciação implícita. Primeiro uma breve lembrança didática do que vamos usar.
Produto de duas funções: se temos duas funções de
,
e
, a regra do produto diz
Aqui, na expressão
, pense em
e
(lembrando que
é considerada função de
, então
). Também usaremos a regra básica
e
.
Agora diferenciamos termo a termo a equação original em relação a
:
derivada de é, pela regra do produto,
derivada de
derivada de
é
.
derivada de é
.
derivada de é
.
derivada de
derivada de
Portanto obtemos a equação
Isolando
:
e, dividindo por
(vamos comentar sobre
logo abaixo),
Observação sobre
: se
na equação original, ela fica
, ou seja
, impossível. Logo
não pertence à curva dada, então dividir por
é válido em todos os pontos da curva. Assim a expressão acima para
é aplicável para todos os
da curva.
Passo 3
Agora (b): resolver explicitamente para
e derivar.
Partimos de
Isolando
,
Como vimos em (a),
não é possível, então podemos dividir por
:
Separando termos (mais conveniente para derivar):
Agora derivamos termo a termo. Lembrete:
,
,
. Assim
Passo 4
Agora (c): verificar substituindo a expressão de
obtida em (b) na fórmula de
obtida em (a).
A fórmula de (a) é
Substituímos
(obtido em (b)) no numerador:
Os termos
e
se cancelam, e
, então
Colocando isto sobre
com o sinal negativo:
Isto coincide exatamente com o resultado obtido em (b). Portanto as duas formas são consistentes.
Passo 5
Resumo e incentivo: concluímos a derivada de forma implícita e explícita e verificámos que dão a mesma expressão (no domínio válido
). Se você estiver nervoso, lembra que a técnica padrão é: (i) na implícita usar a regra do produto e tratar
como função
(logo aparece
); (ii) se puder isolar
, derive diretamente e compare — sempre cheque se alguma divisão (como por
) é permitida pela equação original. Você está indo bem — repita esse tipo de exercício umas duas vezes e vai ficar mais automático!
Resposta
(a)
(b)
(c) Substituindo
em (a) obtém-se
, que coincide com (b)