A fração de corredores do sexo masculino e a fração de corredoras do sexo feminino que competem em uma maratona são descritas pela função de densidade conjunta abaixo. Determine a covariância de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística que envolve encontrar a covariância entre duas variáveis aleatórias, [X) e , que representam, respectivamente, a fração de corredores masculinos e femininos numa maratona. A função de densidade conjunta delas é dada por:
á
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância, como calcular valores esperados e , tudo isso usando integrais duplas, já que temos uma função de densidade conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado de X , ou seja, E[X] . O valor esperado é basicamente a média ponderada de X , considerando a distribuição de probabilidade.
A fórmula para E[X] é:
E[X] = integral0^1 integral0^x x cdot f(x, y) , dy , dx
Substituindo f(x, y) por 8xy :
E[X] = integral0^1 integral0^x x cdot 8xy , dy , dx = 8 integral0^1 x^2 ( integral0^x y , dy ) dx