A fração X de corredores do sexo masculino e a fração Y de corredoras do sexo feminino que competem em uma maratona são descritas pela função de densidade conjunta abaixo. Determine a covariância de X e Y.
f(x, y)= 8 x y, & 0 <= y <= x <= 1 0, & cc

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística que envolve encontrar a covariância entre duas variáveis aleatórias, [X) e , que representam, respectivamente, a fração de corredores masculinos e femininos numa maratona. A função de densidade conjunta delas é dada por:
á
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância, como calcular valores esperados e , tudo isso usando integrais duplas, já que temos uma função de densidade conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de X , ou seja, E[X] . O valor esperado é basicamente a média ponderada de X , considerando a distribuição de probabilidade.
A fórmula para E[X] é:
E[X] = integral0^1 integral0^x x cdot f(x, y) , dy , dx
Substituindo f(x, y) por 8xy :
E[X] = integral0^1 integral0^x x cdot 8xy , dy , dx = 8 integral0^1 x^2 ( integral0^x y , dy ) dx
Vamos resolver a integral interna:
integral0^x y , dy = 12x^2
Então,
E[X] = 8 integral0^1 x^2 cdot 12x^2 , dx = 4 integral0^1 x^4 , dx = 4 cdot [ x^55 ]0^1 = 4 cdot 15 = 45

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de Y , ou seja, E[Y] . A abordagem é similar à do E[X] .
A fórmula para E[Y] é:
E[Y] = integral0^1 integral0^x y cdot f(x, y) , dy , dx
Substituindo f(x, y) por 8xy :
E[Y] = integral0^1 integral0^x y cdot 8xy , dy , dx = 8 integral0^1 x ( integral0^x y^2 , dy ) dx
Resolvendo a integral interna:
integral0^x y^2 , dy = 13x^3
Então,
E[Y] = 8 integral0^1 x cdot 13x^3 , dx = 83 integral0^1 x^4 , dx = 83 cdot [ x^55 ]0^1 = 83 cdot 15 = 815

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado de XY , ou seja, E[XY] . Isso nos ajuda a encontrar a covariância depois.
A fórmula para E[XY] é:
E[XY] = integral0^1 integral0^x xy cdot f(x, y) , dy , dx
Substituindo f(x, y) por 8xy :
E[XY] = integral0^1 integral0^x xy cdot 8xy , dy , dx = 8 integral0^1 x^2 ( integral0^x y^2 , dy ) dx
Já sabemos que:
integral0^x y^2 , dy = 13x^3
Então,
E[XY] = 8 integral0^1 x^2 cdot 13x^3 , dx = 83 integral0^1 x^5 , dx = 83 cdot [ x^66 ]0^1 = 83 cdot 16 = 818 = 49

Passo 5

Agora que temos E[X] = 45 , E[Y] = 815 e E[XY] = 49 , vamos calcular a covariância Cov(X, Y) .
A fórmula da covariância é:
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
Substituindo os valores que encontramos:
Cov(X, Y) = 49 - ( 45 times 815 ) = 49 - 3275
Vamos encontrar um denominador comum, que é 225:
49 = 100225, 3275 = 96225
Então,
Cov(X, Y) = 100225 - 96225 = 4225

Resposta

A covariância entre X e Y é 4225 .

Exercícios relacionados