Um frasco que possui volume igual a 1000,0 cm^3 a 0,0^circ C está completamente cheio de mercúrio com esta mesma temperatura. Quando o sistema é aquecido até 60,0^circ C, um volume de 7,8 cm^3 de mercúrio transborda. Sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é igual a 18,0 times 10^-5 K^-1, calcule o coeficiente de dilatação linear do material do frasco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um frasco com volume inicial de 1000,0 , cm^3 cheio de mercúrio a 0,0^circ C. Quando a gente aquece esse sistema até 60,0^circ C, 7,8 , cm^3 de mercúrio transbordam. O que precisamos encontrar é o coeficiente de dilatação linear do material do frasco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dilatação volumétrica e linear, e aplicar fórmulas de expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dilatação volumétrica ( De) de uma substância quando aquecida pode ser calculada pela fórmula:
De
Onde:
  • V0 é o volume inicial,
  • beta é o coeficiente de dilatação volumétrica,
  • De é a variação de temperatura.
No caso, o mercúrio tem beta = 18,0 times 10^-5 , K^-1, V0 = 1000,0 , cm^3 e De.

Passo 3

Vamos calcular a variação de volume do mercúrio:
De
Então, o mercúrio quer aumentar seu volume em 108 , cm^3.

Passo 4

Porém, o frasco também vai se expandir devido ao aumento de temperatura. A dilatação linear do frasco ( alpha) está relacionada à dilatação volumétrica através da aproximação:
betafrasco approx 3alpha
Isso porque, para dilatações isotrópicas (iguais em todas as direções), a dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes a dilatação linear.

Passo 5

Vamos calcular a variação de volume do frasco:
De

Passo 6

O mercúrio expandiu 108 , cm^3, mas o frasco também expandiu, aumentando o volume disponível em 180000 alpha , cm^3. O excesso que transbordou foi 7,8 , cm^3. Então, a diferença entre a expansão do mercúrio e a expansão do frasco é igual ao volume que transbordou:
De
Substituindo os valores que calculamos:
108 , cm^3 - 180000 alpha , cm^3 = 7,8 , cm^3

Passo 7

Agora, vamos resolver para alpha:
108 - 7,8 = 180000 alpha
100,2 = 180000 alpha
alpha = 100,2180000 approx 5,5667 times 10^-4 , K^-1

Resposta

O coeficiente de dilatação linear do material do frasco é aproximadamente 5,57 times 10^-4 , K^-1.

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