Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meianoite é
T=0,1(400-40 t+t^2) 0 <= t <= 12
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5 h e 6 h ;
b) Ache a taxa de variação de T em relação a t (gradiente de temperatura) às 5 h .

Passo 1

O enunciado dá a temperatura T em função do tempo t (em horas após a meia-noite) por
T(t)=0,1l(400-40t+t^2r), 0<= t<=12,
e pede
– a taxa de variação média de T entre t=5 e t=6, e
– a taxa de variação instantânea de T em t=5 (i. e., o gradiente de temperatura).

Passo 2

Calcular T(5) e T(6). Primeiro simplificamos
T(t)=0,1l(400-40t+t^2r)=40-4t+0,1t^2
Logo
T(5)=40-4cdot5+0,1cdot5^2=40-20+2,5=22,5,
T(6)=40-4cdot6+0,1cdot6^2=40-24+3,6=19,6

Passo 3

A taxa de variação média de T em relação a t entre 5 h e 6 h é o quociente
T(6)-T(5)6-5 =19,6-22,51=-2,9
graus por hora.

Passo 4

Para a taxa de variação instantânea, calculamos a derivada
dTdt =ddtl(40-4t+0,1t^2r) =-4+0,2t

Passo 5

Em t=5, temos
dTdt|t=5 =-4+0,2cdot5=-4+1=-3
graus por hora.

Resposta

a) -2,9 circC/h
b) -3 circC/h

Exercícios relacionados