Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(x e^-x^22),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x,e^-x^22
utilizando as derivadas básicas ( ddxx=1, ddxe^u=e^u,u'), a linearidade, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto em f(x)=u(x),v(x), onde
u(x)=x, v(x)=e^-x^22
Então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Sabemos que u'(x)=1. Para v'(x) usamos a regra da cadeia: se v(x)=e^g(x) então
v'(x)=e^g(x),g'(x)
Aqui g(x)=-tfracx^22, logo
g'(x)=-x Longrightarrow v'(x)=e^-x^22cdot(-x)=-x,e^-x^22
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) =1cdot e^-x^22 + xcdotl(-x,e^-x^22r) =e^-x^22-x^2,e^-x^22 =(1-x^2),e^-x^22

Resposta

f'(x)=(1-x^2),e^-x^22

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