Questão 6 - (0,25) : Encontre a derivada de
y=coth^-1(sec x)
Simplifique se for possível.

Passo 1

Beleza, primeiro resumão: o exercício pede a derivada de
y = coth^-1(sec x)
Matéria: cálculo de derivadas — em especial, vamos usar a regra da cadeia, a derivada da função inversa hiperbólica coth^-1(u) e a derivada da função trigonométrica sec x.

Passo 2

Regra da cadeia: se y = f(g(x)), então
y' ;=; f'l(g(x)r);times;g'(x)

Passo 3

Precisamos de f'(u) com
f(u) = coth^-1(u)
Lembra que
coth^-1(u) = tfrac12ln!l(u+1u-1r).
Usando tfracdduln(w)=w'/w, vem
f'(u) =tfrac12l(tfrac1u+1-tfrac1u-1r) =11-u^2

Passo 4

Agora g(x)=sec x. Como sec x=(cos x)^-1, pela regra da potência e da derivada de cos x:
g'(x) =-1cdot(cos x)^-2cdot(-sin x) =sin xcos^2 x =sec x,tan x

Passo 5

Juntando tudo pela cadeia:
y' = f'l(sec xr),cdot,(sec x,tan x) = 11-sec^2 x;sec x,tan x
Como sec^2 x -1 = tan^2 x, então 1-sec^2 x=-tan^2 x.
Fica
y' = -sec x,tan xtan^2 x = -sec xtan x = -1/cos xsin x/cos x = -1sin x = -csc x

Resposta

y' = -csc x

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