A frequência de um oscilador eletrônico segue uma distribuição normal com média 10 MHz e desvio padrão 0.05 MHz .
  1. Qual a probabilidade de a frequência estar entre 9.95 MHz e 10.05 MHz ?
  2. Determine a probabilidade de um desvio superior a 0.08 MHz .
  3. Se forem feitas 1000 medições, quantas devem estar entre 9.90 MHz e 10.10 MHz ?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um oscilador cuja frequência Z = X - musigma é Normal( MHz, MHz). Isso cai em Distribuição Normal, então vamos usar:
  • A fórmula do escore-padronizado (Z):
  • A tabela da Normal Padrão (a CDF ) pra achar probabilidades.
Agora vamos pro que o exercício pede:
  1. , ou seja
  2. Em 1000 medidas, quantas ficam entre 9.90 e 10.10?

Passo 2

Parte 1: z1 = 9.95 - 100.05 = -1, z2 = 10.05 - 100.05 = +1 .
  1. Padroniza os dois limites: P(9.95<= X<=10.05) = P(-1<= Z<=1) = Phi(1) - Phi(-1)
  2. Então P = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
  3. Pela tabela, e .
    Logo

Passo 3

Parte 2: P(X<9.92) + P(X>10.08) = Pl(Z<-tfrac0.080.05r) + Pl(Z>tfrac0.080.05r) .
  1. Escreve isso como duas caudas: 0.080.05 = 1.6
  2. Calcula o P(|X-10|>0.08) = P(Z<-1.6)+P(Z>1.6) : P(Z>1.6) = 1-Phi(1.6)approx1 - 0.9452 = 0.0548,
  3. Então P = 0.0548 + 0.0548 = 0.1096 Como a Normal é simétrica, e também.
  4. Somando as duas:

Passo 4

Parte 3: quantas em 1000 medições ficam entre 9.90 e 10.10?
  1. Primeiro a probabilidade dessa faixa: z = 10.10 - 100.05 = +2, -2 = 9.90 - 100.05 Então P(9.90<= X<=10.10) = P(-2<= Z<=2) = Phi(2)-Phi(-2)
  2. Pela tabela, P = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 e 1000 times 0.9544 = 954.4 approx 954 medições .
    Assim
  3. Em 1000 medidas, o número esperado é çõ

Resposta

  1. (≈68.26%)
  2. (≈10.96%)
  3. Aproximadamente medições.

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