Se Ce a fronteira, positivamente orientada, de uma região Omega que possui área 4 m^2. quanto vale a integral da função F(x, y)=(x^2-2 y) imath+(3 x+y^2) jmath sobre C?
000000

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha fechada ointC Fcdot dr, em que C é a fronteira positivamente orientada de uma região Omega de área 4,m^2 e F(x,y)=(x^2-2y),hatimath+(3x+y^2),hatjmath. Vamos usar o teorema de Green.

Passo 2

Pelo teorema de Green, para F=(P,Q) vale:
ointC P,dx+Q,dy = integral duplaOmegagl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dA
Aqui temos P(x,y)=x^2-2y e Q(x,y)=3x+y^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=3,partial Ppartial y=-2
Logo o rotacional é partial Qpartial x-partial Ppartial y=3-(-2)=5

Passo 4

A integral sobre Omega fica
integral duplaOmega5,dA = 5times área(Omega)=5times4=20á

Resposta

20

Exercícios relacionados