A integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre o sólido do primeiro octante, situado abaixo de um paraboloide, sendo interior a um cilindro circular e limitado peios planos coordenados é dada, em coordenadas cilindricas, por
integral0^pi / 2(integral0^2(integral0^2 r^2 r^2 cos theta sen theta d z) d r) d theta
Como se escreve essa integral em coordenadas cartesianas, na ordem d z d y d x ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre um sólido no primeiro octante, que está abaixo de um paraboloide, dentro de um cilindro circular e limitado pelos planos coordenados. A integral está apresentada nas coordenadas cilíndricas, e queremos reescrevê-la em coordenadas cartesianas na ordem dz , dy , dx .
Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas, além de como transformar os limites de integração de um sistema para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as cartesianas:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por r , dz , dr , dtheta , mas na integral original temos r^2 cos theta sin theta , dz , dr , dtheta . Isso sugere que a função f(x, y, z) em coordenadas cartesianas será expressa em termos de x , y e z .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a pi2 , o que corresponde ao primeiro octante.
  • r varia de 0 a 2 .
  • z varia de 0 a 2r^2 , que representa o paraboloide z = 2r^2 .
Convertendo o paraboloide para coordenadas cartesianas:
z = 2r^2 = 2(x^2 + y^2)
O cilindro circular em cartesianas é dado por x^2 + y^2 = 4 , já que r = 2 .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas na ordem dz , dy , dx :
  1. Para z : Vai de 0 até 2(x^2 + y^2) .
  2. Para y : Em primeiro octante e dentro do cilindro x^2 + y^2 <= 4 , para um valor fixo de x , y varia de 0 até raiz4 - x^2 .
  3. Para x : No primeiro octante dentro do cilindro, x varia de 0 até 2 .

Passo 5

Juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem dz , dy , dx fica:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^2(x^2 + y^2) f(x, y, z) , dz , dy , dx

Resposta

A integral tripla em coordenadas cartesianas, na ordem dz , dy , dx , é:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^2(x^2 + y^2) f(x, y, z) , dz , dy , dx

Exercícios relacionados