A integral tripla de uma função
sobre o sólido do primeiro octante, situado abaixo de um paraboloide, sendo interior a um cilindro circular e limitado peios planos coordenados é dada, em coordenadas cilindricas, por
Como se escreve essa integral em coordenadas cartesianas, na ordem
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla de uma função
sobre um sólido no primeiro octante, que está abaixo de um paraboloide, dentro de um cilindro circular e limitado pelos planos coordenados. A integral está apresentada nas coordenadas cilíndricas, e queremos reescrevê-la em coordenadas cartesianas na ordem
.
Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas, além de como transformar os limites de integração de um sistema para o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as cartesianas:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
, mas na integral original temos
. Isso sugere que a função
em coordenadas cartesianas será expressa em termos de
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração:
-
varia de a , o que corresponde ao primeiro octante. -
varia de a . -
varia de a , que representa o paraboloide .
Convertendo o paraboloide para coordenadas cartesianas:
O cilindro circular em cartesianas é dado por
, já que
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas na ordem
:
- Para
: Vai de até . - Para
: Em primeiro octante e dentro do cilindro , para um valor fixo de , varia de até . - Para
: No primeiro octante dentro do cilindro, varia de até .
Passo 5
Juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem
fica:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cartesianas, na ordem
, é: