Passe para coordenadas polares e calcule
.

Passo 1

A gente quer calcular a integral
I=integral0^1l(integralx^2^raiz2-x^2raizx^2+y^2,dyr)dx
Isso é um caso de integral dupla de f(x,y)=raizx^2+y^2 sobre a região definida por 0<= x<=1 e x^2<= y<=raiz2-x^2. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar que raizx^2+y^2=r e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Precisamos descrever a região R em coordenadas polares. As fronteiras são:
– curva parabólica y=x^2, que vira
rsintheta=(rcostheta)^2implies r=sinthetacos^2theta,
– círculo x^2+y^2=2 vira r=raiz2,
– eixo x=0 é theta=pi2, e ficamos no primeiro quadrante 0<=theta<=pi2.

Passo 3

Para cada ângulo theta vemos qual é o limite menor de r:
– Se 0<=theta<=pi4 então sinthetacos^2theta<=raiz2,
– Se pi4<=theta<=pi2 então raiz2 é o limite menor.
Logo
I=integral0^pi/4integral0^sintheta/cos^2thetarcdot r,dr,dtheta+integralpi/4^pi/2integral0^raiz2rcdot r,dr,dtheta
ou seja r^2 no integrando.

Passo 4

Calculamos a parte em r:
integral0^ar^2,dr=a^33
Então
I=13integral0^pi/4l(sinthetacos^2thetar)^3dtheta+integralpi/4^pi/2(raiz2)^33,dtheta
Para a primeira integral fazemos u=costheta, du=-sintheta,dtheta, e obtemos
13integral0^pi/4sin^3thetacos^6theta,dtheta =13integral1^raiz22-1-u^2u^6,du =2(1+raiz2)45

Passo 5

A segunda integral é trivial:
integralpi/4^pi/2(raiz2)^33,dtheta=2raiz23l(pi2-pi4r)=raiz2,pi6
Somando as duas partes chegamos ao resultado final.

Resposta

I=raiz2,pi6+2(1+raiz2)45.

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