Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
A gente quer calcular a integral
Isso é um caso de integral dupla de
sobre a região definida por
e
. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar que
e
.
Passo 2
Precisamos descrever a região
em coordenadas polares. As fronteiras são:
– curva parabólica , que vira
– curva parabólica
– círculo
vira
,
– eixo é
, e ficamos no primeiro quadrante
.
– eixo
Passo 3
Para cada ângulo
vemos qual é o limite menor de
:
– Se então
,
– Se então
é o limite menor.
Logo
– Se
– Se
Logo
ou seja
no integrando.
Passo 4
Calculamos a parte em
:
Então
Para a primeira integral fazemos
,
, e obtemos
Passo 5
A segunda integral é trivial:
Somando as duas partes chegamos ao resultado final.